Скорость точки



Скорость точки

Одной из основных характеристик движения точки является ее скорость относительно выбранной системы отсчета.

Скоростью точки называют кинематическую меру ее движения, равную производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt:

тогда

средняя скорость точки за промежуток времени Dt. Скорость точки в данный момент времени

скорость точки

Скорость точки при векторном способе задания движения

Положение движущейся точки М относительно системы отсчета в момент времени t1 определяется радиус-вектором r.

Скорость точки при векторном способе задания движения

Рис. 1

В другой момент времени t1=t+Δt точка займет положение М1 с радиус-вектором r1.

За время Δt радиус-вектор движущейся точки изменится на

Средней скоростью vср называется отношение изменения радиус-вектора Δr к изменению времени Δt.

Скорость точки равна первой производной по времени от ее радиус-вектора.

Скорость точки при координатном способе задания движения

Разложим радиус-вектор и скорость на составляющие, параллельные осям координат. Получим

После дифференцирования

Отсюда следует

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки.

Модуль скорости и направляющие косинусы равны:

Если точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ox и Oy в этой плоскости, получим:

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например ось Ox, направляем по траектории. Тогда

Скорость точки при естественном способе задания движения

Пусть скорость точки задана естественным способом, т.е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории s=f(t).

Скорость точки при естественном способе задания движения

Рис. 2

Вычислим скорость точки. Используем радиус-вектор r. движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке O1


— единичный вектор, направленный по касательной к траектории в сторону возрастающих расстояний.

При ds>0 направления векторов τ и dr совпадают.

Если точка движется в сторону убывающих расстояний, то ds<0 и направления векторов τ и dr противоположны.

При

вектор скорости направлен по τ, т.е. в сторону возрастающих расстояний;

при

он имеет направление, противоположное τ, т.е. в сторону убывающих расстояний.


— алгебраическая скорость точки, проекция скорости v на положительное направление касательной к траектории.

Естественное задание движения точки полностью определяет скорость по величине и направлению.

Ускорение точки >






Лекции и решения задач по теормеху, сопромату, технической, прикладной и строительной механике, ТММ и деталям машин.