Задача

Для заданной механической системы (рис. 2.1) определить ускорение груза и натяжения нитей. Система движется из состояния покоя, моменты сопротивления в подшипниках не учитывать, массами нитей пренебречь, нити не растяжимы.

Дано: m_A, m_B, R_B, r_B, i, m_D, R_D, f_k;

i – радиус инерции блока B, при вращении его вокруг оси перпендикулярной плоскости чертежа;
f_k – коэффициент трения качения для катка D;

каток D – сплошной однородный цилиндр.

Решение

Определим направление движения системы, указав направление ускорения груза A, покажем на рис. 2.2. задаваемые силы: G_A, G_B, G_D и реакции связей N_B, N_D (направление N_B пока неизвестно).

Силы инерции для тела A приводятся к главному вектору сил инерции Ф_А=m_A∙a_A, для тела B к главному моменту сил инерции M_B^Ф=J_B∙ε_B, для тела D, совершающего плоское движение к главному вектору сил инерции Ф_D=m_D∙a_D и к главному моменту сил инерции M_D^Ф=J_D∙ε_D. Коэффициент трения качения определяет наличие момента сопротивления

Ускорения и перемещения точек системы получаются дифференцированием и интегрированием зависимостей между линейными и угловыми скоростями точек системы. Приняв скорость груза V_A, получим соотношения

Можно продифференцировать и проинтегрировать выше приведенные формулы и получить выражения

Сообщим системе возможное перемещение в направлении ее действительного движения. Силы и моменты, действующие на систему, совершат элементарную работу.

Сумма всех работ должна быть равна нолю. Момент сопротивления отнесем к внешним воздействиям. Это позволит считать данную систему идеальной. Составим общее уравнение динамики (уравнение работ):

Подставим данные задачи и получим:

Сократив на δS_A — задаваемое нами возможное перемещение груза А получим:

Из этого соотношения определим ускорение груза

Из найденных ранее соотношений можно определить: ε_B, a₀, ε_D.

При решении задачи этим методом внутренние силы в уравнения не входят. Для определения натяжения нитей нужно сделать эти силы внешними, для чего разделяем систему на части.

Рассмотрим отдельно груз А, на который действуют силы Ф_A, G_A и сила T_AB, ставшая внешней (рис. 2.3). Для этой системы можно написать или принцип Даламбера или общее уравнение динамики.

G_A — Ф_A — T_AB =0 (принцип Даламбера),
G_A∙δS_A — Ф_A∙δS_A — T_AB∙δS_A =0 (общее уравнение динамики).

Находим натяжение нити:

Для определения натяжения нити между телами B и D можно составить общее уравнение динамики (или написать принцип Даламбера) для тела B или D.

Рассмотрим тело D (рис. 2.4). Покажем действующие внешние силы и силы инерции. Натяжение нити Т_BD стало внешней силой. Приняв за возможное перемещение угол поворота тела D —
δφ_D составим уравнение работ.

Для проверки результатов можно написать общее уравнение динамики (или принцип Даламбера) для блока B.

Другие примеры решения задач >>