Расчет ускорения груза и натяжения нитей механической системы

Задача

Для заданной механической системы (рис. 2.1) определить ускорение груза и натяжения нитей. Система движется из состояния покоя, моменты сопротивления в подшипниках не учитывать, массами нитей пренебречь, нити не растяжимы.

определить ускорение груза и натяжения нитей

Рис. 2.1

Дано: mA, mB, RB, rB, i, mD, RD, fk;

i – радиус инерции блока B, при вращении его вокруг оси перпендикулярной плоскости чертежа;
fk – коэффициент трения качения для катка D;

каток D – сплошной однородный цилиндр.




Решение

Определим направление движения системы, указав направление ускорения груза A, покажем на рис. 2.2. задаваемые силы: GA, GB, GD и реакции связей NB, ND (направление NB пока неизвестно).

Силы инерции для тела A приводятся к главному вектору сил инерции ФА=mA∙aA, для тела B к главному моменту сил инерции MBФ=JB∙εB, для тела D, совершающего плоское движение к главному вектору сил инерции ФD=mD∙aD и к главному моменту сил инерции MDФ=JD∙εD. Коэффициент трения качения определяет наличие момента сопротивления

Mсопр = fk∙N = fk∙mD∙g.

направление движения системы

Рис. 2.2

Ускорения и перемещения точек системы получаются дифференцированием и интегрированием зависимостей между линейными и угловыми скоростями точек системы. Приняв скорость груза VA, получим соотношения

ωB= VA/RB;
Vk = VE=ωB∙rB=(VA/RB)∙ rB;
ωD = Vk/(K∙CV) = (VA∙rB)/(RB∙2RD);
V0 = ωD∙RD = (VA∙rB)/2RB

Можно продифференцировать и проинтегрировать выше приведенные формулы и получить выражения

aA, εB = aA/RB;
εD = (aA∙rB)/(RB∙2R);
a0 = (aA∙rB)/2RB;
δSA, δφB= δSA/RB;
δφD = (δSA∙rB)/(RB∙2RD);
δS0 = (δSD∙rB)/2RB;

Сообщим системе возможное перемещение в направлении ее действительного движения. Силы и моменты, действующие на систему, совершат элементарную работу.

Сумма всех работ должна быть равна нолю. Момент сопротивления отнесем к внешним воздействиям. Это позволит считать данную систему идеальной. Составим общее уравнение динамики (уравнение работ):

GA∙δSA — ФA∙δSA — MBФ∙δφB —
-ФD∙δS0 — MDФ — Mсопр∙δφD =0

Подставим данные задачи и получим:

Сократив на δSA — задаваемое нами возможное перемещение груза А получим:

Из этого соотношения определим ускорение груза

Из найденных ранее соотношений можно определить: εB, a0, εD.

При решении задачи этим методом внутренние силы в уравнения не входят. Для определения натяжения нитей нужно сделать эти силы внешними, для чего разделяем систему на части.

Рассмотрим отдельно груз А, на который действуют силы ФA, GA и сила TAB, ставшая внешней (рис. 2.3). Для этой системы можно написать или принцип Даламбера или общее уравнение динамики.

GA — ФA — TAB =0 (принцип Даламбера),
GA∙δSA — ФA∙δSA — TAB∙δSA =0 (общее уравнение динамики).

Находим натяжение нити:

TAB = GA — ФA = mA∙g — mA∙aA = mA(g — aA).

принцип Даламбера или общее уравнение динамики

Рис. 2.3

Для определения натяжения нити между телами B и D можно составить общее уравнение динамики (или написать принцип Даламбера) для тела B или D.

Рассмотрим тело D (рис. 2.4). Покажем действующие внешние силы и силы инерции. Натяжение нити ТBD стало внешней силой. Приняв за возможное перемещение угол поворота тела D —
δφD составим уравнение работ.

действующие внешние силы и силы инерции

Рис. 2.4


Для проверки результатов можно написать общее уравнение динамики (или принцип Даламбера) для блока B.

Другие примеры решения задач >>