Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки:

Рассмотрим материальную точку M массой m, движущуюся под действием силы F (рисунок 3.1). Запишем и построим вектор момента количества движения (кинетического момента) M₀ материальной точки относительно центра O:

Дифференцируем выражение момента количества движения (кинетического момента k₀) по времени:

Так как dr/dt=V, то векторное произведение V × m∙V (коллинеарных векторов V и m∙V) равно нулю. В то же время d(m∙V)/dt=F согласно теореме о количестве движения материальной точки. Поэтому получаем, что

где r×F = M₀ (F) – вектор-момент силы F относительно неподвижного центра O. Вектор k₀ ⊥ плоскости (r, m×V), а вектор M₀(F) ⊥ плоскости (r, F), окончательно имеем

Уравнение (3.4) выражает теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно центра, которая гласит: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какого-либо неподвижного центра равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Проецируя равенство (3.4) на оси декартовых координат, получаем

dk_x/dt = M_x(F);

dk_y/dt = M_y(F);

dk_z/dt = M_z(F).    (3.5)

Равенства (3.5) выражают теорему об изменении момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно оси: производная по времени от момента количества движения (кинетического момента) материальной точки относительно какой-либо неподвижной оси равна моменту действующей на эту точку силы относительно той же оси.

Рассмотрим следствия, вытекающие из теорем (3.4) и (3.5).

Следствие 1

Рассмотрим случай, когда сила F во все время движения точки проходит через неподвижный центр O (случай центральной силы), т.е. когда M₀(F) = 0. Тогда из теоремы (3.4) следует, что k₀ = const, т.е. в случае центральной силы момент количества движения (кинетический момент) материальной точки относительно центра этой силы остается постоянным по модулю и направлению (рисунок 3.2).

Из условия k₀ = const следует, что траектория движущейся точки представляет собой плоскую кривую, плоскость которой проходит через центр этой силы.

Следствие 2

Пусть M_z(F) = 0, т.е. сила пересекает ось z или параллельна ей.

В этом случае, как это видно из третьего из уравнений (3.5), k_z = const, т.е. если момент действующей на точку силы относительно какой-либо неподвижной оси всегда равен нулю, то момент количества движения (кинетический момент) точки относительно этой оси остается постоянным.

Примеры решения задач >
Теорема об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы >