Расчет траектории, скорости, ускорения и пути точки

Пример решения задачи технической и теоретической механики по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в заданные моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.

Задача

Движение точки A задано уравнениями:
Уравнения прямолинейного равноускоренного движения точки

где координаты x и y – в сантиметрах [см], а время t – в секундах [с]. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t0=0 с, t1=1 с и t2=5 с, а также путь, пройденный точкой за время равное 5 с.

Решения других задач
Помощь с решением

Решение

Определение траектории движущейся точки

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:
Сложение уравнений движения точки

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).
Прямолинейное движение точки в системе координат

Рисунок 1.5

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A0, подставим в заданные уравнения значения t0=0; из первого уравнения получим x0=2 см, из второго y0=1 см.

При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A0 (2; 1).

Пример расчета кинематических параметров точки движущейся по криволинейной траектории.

Другие видео

Определение скорости движения точки

Определяем скорость движения точки, найдя сначала ее проекции на оси координат:
Определение проекций скорости точки на оси координат
тогда полная скорость движущейся точки
Определение полной скорости движения точки по двум проекциям

При t0=0с скорость точки v0=0, при t1=1с v1=5 см/с, при t2=5с v2=25см/с.

Определение ускорения движущейся точки

Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:
Расчет проекций ускорения точки на оси системы координат

Проекции ускорения не зависят от времени движения,
Определение полного ускорения точки по проекциям ускорений на оси координат

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:
Определение модуля ускорения точки дифференцированием уравнения скорости

Определение пути пройденного точкой

Определяем путь, пройденный точкой за первые 5 секунд движения. Выразим путь как функцию времени:
Выражение пути, пройденного точкой как функции времени

Проинтегрируем последнее выражение:
Интегрирование уравнения пути пройденного точкой

Если t=t0=0, то C=s0; в данном случае s0=0, поэтому s=2,5t2.

Находим, что за 5 секунд точка проходит расстояние
s|t=5с=2,5∙52=62,5см.

Кинематические параметры движения точки прямолинейного и равноускоренного движения точки определены.


Дополнительно:

Сохранить или поделиться
Вы находитесь здесь:
Техническая механика Теоретическая механика Примеры решения задач теоретической механики Расчет траектории, скорости, ускорения и пути точки

У нас можно заказать решение
и помощь по разным предметам

Онлайн помощь с решением задач по механике