Пример решения задачи технической и теоретической механики по определению траектории равноускоренного движения точки, заданного уравнениями, скорости и ускорения в заданные моменты времени, координаты начального положения точки, а также путь, пройденный точкой за время t.

Задача

Движение точки A задано уравнениями:

где координаты x и y – в сантиметрах [см], а время t – в секундах [с]. Определить траекторию движения точки, скорость и ускорение в моменты времени t₀=0 с, t₁=1 с и t₂=5 с, а также путь, пройденный точкой за время равное 5 с.

Решения других задач
Помощь с решением

Решение

Определение траектории движущейся точки

Определяем траекторию точки. Умножаем первое заданное уравнение на 3, второе – на (-4), а затем складываем их левые и правые части:

Получилось уравнение первой степени – уравнение прямой линии, значит движение точки – прямолинейное (рисунок 1.5).

Для того, чтобы определить координаты начального положения точки A₀, подставим в заданные уравнения значения t₀=0; из первого уравнения получим x₀=2 см, из второго y₀=1 см.

При любом другом значении t координаты x и y движущейся точки только возрастают, поэтому траекторией точки служит полупрямая 3x-4y=2 с началом в точке A₀ (2; 1).

Пример расчета кинематических параметров точки движущейся по криволинейной траектории.

Другие видео

Определение скорости движения точки

Определяем скорость движения точки, найдя сначала ее проекции на оси координат:

тогда полная скорость движущейся точки

При t₀=0с скорость точки v₀=0, при t₁=1с v₁=5 см/с, при t₂=5с v₂=25см/с.

Определение ускорения движущейся точки

Определяем ускорение точки. Его проекции на оси координат:

Проекции ускорения не зависят от времени движения,

т.е. движение точки равноускоренное, векторы скорости и ускорения совпадают с траекторией точки и направлены вдоль нее.

С другой стороны, поскольку движение точки прямолинейное, то модуль ускорения можно определить путем непосредственного дифференцирования уравнения скорости:

Определение пути пройденного точкой

Определяем путь, пройденный точкой за первые 5 секунд движения. Выразим путь как функцию времени:

Проинтегрируем последнее выражение:

Если t=t₀=0, то C=s₀; в данном случае s₀=0, поэтому s=2,5t².

Находим, что за 5 секунд точка проходит расстояние
s|_t=5с=2,5∙5²=62,5см.

Кинематические параметры движения точки прямолинейного и равноускоренного движения точки определены.

---

Дополнительно: