Скорость движения точки

Скорость точки — кинематическая мера её движения, равная производной по времени от радиус-вектора этой точки в рассматриваемой системе отсчета.
Скорость движения точки в момент времени и средняя скорость

Скорость относительно выбранной системы отсчета это одна из основных кинематических характеристик движения точки.

Вектор скорости направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

Рассмотрим перемещение точки за малый промежуток времени Δt:
Перемещение движущейся точки за малый промежуток времени
тогда средняя скорость точки за промежуток времени Δt
Средняя скорость движущейся точки за промежуток времени

Скорость точки в данный момент времени
Скорость движения точки в заданный момент времени

Видеоурок по теме:

Другие видео

Рассмотрим подробнее определение скорости движения материальной точки при различных способах задания ее движения.

Скорость точки при векторном способе задания движения

При векторном способе задания движения положение движущейся точки М относительно системы отсчета в момент времени t1 определяется радиус-вектором r
Скорость точки при векторном способе задания движения

В другой момент времени t1=t+Δt точка займет положение М1 с радиус-вектором r1.

За время Δt радиус-вектор движущейся точки изменится на
Изменение радиус-вектора движущейся точки

Средней скоростью vср называется отношение изменения радиус-вектора Δr к изменению времени Δt.
Формула средней скорости движения точки

Скорость точки равна первой производной по времени от ее радиус-вектора.
Скорость движения точки как первая производная по времени от ее радиус-вектора

Скорость точки при координатном способе задания движения

При координатном способе задания движения перемещение материальной точки определяется уравнениями.

Разложим радиус-вектор и скорость на составляющие, параллельные осям координат
Скорость точки при координатном способе задания движения

Получим следующие выражения
Разложение радиус-вектора и скорости движущейся точки на составляющие

После дифференцирования получается зависимость
Зависимость между составляющими скорости и радиус-вектором движущейся точки

Откуда следует
Формулы для расчета проекций скорости движущейся точки

Проекция скорости точки на какую-либо координатную ось равна первой производной по времени от соответствующей координаты этой точки.

Модуль скорости и направляющие косинусы равны:
Модуль и направляющие косинусы скорости движения точки

Если материальная точка движется в плоскости, то, выбрав оси координат Ox и Oy в этой плоскости, получим:
Формулы для расчета скорости при движении точки в плоскости

Для прямолинейного движения точки координатную ось, например ось Ox, направляем по траектории.

Тогда
Формулы для расчета скорости точки при прямолинейном движении

Скорость точки при естественном способе задания движения

Пусть скорость материальной точки задана естественным способом, т.е. заданы траектория точки и закон ее движения по траектории s=f(t).
Скорость точки при естественном способе задания движения

Вычислим скорость точки. Используем радиус-вектор r. движущейся точки, начало которого находится в неподвижной точке O1
Формула расчета скорости точки с использованием радиус-вектора
где
Единичный вектор, направленный по касательной к траектории
— единичный вектор, направленный по касательной к траектории в сторону возрастающих расстояний.
Формула скорости точки через производную от пути и единичный вектор

При ds>0 направления векторов τ и dr совпадают.

Если точка движется в сторону убывающих расстояний, то ds<0 и направления векторов τ и dr противоположны.

При
Первая производная от пути положительна
вектор скорости направлен по τ, т.е. в сторону возрастающих расстояний;

При
Первая производная от пути отрицательна
он имеет направление, противоположное τ, т.е. в сторону убывающих расстояний.

Здесь
Алгебраическая скорость движения точки
— алгебраическая скорость точки, проекция скорости v на положительное направление касательной к траектории.

Естественное задание движения точки полностью определяет скорость по величине и направлению.


Далее:

Сохранить или поделиться
Вы находитесь здесь:

У нас можно заказать решение
и помощь по разным предметам

Онлайн помощь с решением задач по механике