Пример решения задачи по определению в заданный момент времени скорости, полного, касательного, нормального ускорений, радиуса кривизны и вида траектории точки по известным уравнениям её движения в координатной форме.
Задача
Даны уравнения движения точки M:
y=(2sin2πt/3)-2 см.
Определить вид траектории и в момент времени t=1 c найти скорость точки, полное, касательное, нормальное ускорения и радиус кривизны траектории в данной точке.
Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >
Решение
Координатный способ задания движения – это траектория движения точки в параметрической форме.
Исключим параметр t:
sin2πt/3=(y+2)/2,
(cos2πt/3)2+(sin2πt/3)2=1=((x-3)2/32)+((y+2)2/22),
((x-3)2/32)+((y+2)2/22)=1
получили эллипс с полуосями 3 см и 2 см (рисунок 1.7).
В момент времени t=1 c координаты точки:
y=(2sin2π∙1/3)-2=2sin120o-2=2∙(31/2/2)-2=-0,27 см.
Движение начинается из точки A:
yt=0=(2sin2π∙0/3)-2=0-2=-2 см.
Учитывая графики изменения функций синуса и косинуса, можно утверждать, что точка M движется по эллипсу из точки A против хода часовой стрелки.
Vy=dy/dt=d((2sin2πt/3)-2)/dt=
В момент времени t=1:
Направление вектора скорости определяется направляющими косинусами:
Таким образом, вектор скорости определен и по величине и по направлению (рисунок 1.8).
Для t=1 c:
Направление вектора ускорения:
Результаты расчетов показаны на рисунке 1.8.
Касательное ускорение определяется по формуле (1.11):
Нормальное ускорение можно определить либо из формулы (1.5), либо из формулы (1.12). По формуле (1.12) получим:
Результат может быть проверен (см. выше расчет):
Радиус кривизны траектории в точке M:
