Пример решения РГР К1

Расчет скорости и ускорения точки по уравнениям ее движения

Решение задачи (РГР) К1 «Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения» по разделу «кинематика» теоретической механики.

Пример определения для заданного момента времени положения точки на траектории, скорости, полного, касательного и нормального ускорения, радиуса кривизны траектории и вида траектории движения точки, если движение точки задано уравнениями.

Задача
Движение точки M задано уравнениями:
Уравнения движения точки в координатной форме
Требуется:
Установить вид траектории движения точки M, и для момента времени t = t1 = 0,5 с найти:

  1. положение точки на траектории,
  2. скорость, полное, касательное и нормальное ускорения,
  3. радиус кривизны траектории.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Решение

Расчет траектории движения точки

Уравнения движения можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки.


Другие видео

Чтобы узнать вид траектории в координатной форме, надо получить прямую зависимость между переменными x и y, для этого избавимся от параметра времени t, выразив его, например, из первого уравнения и подставив во второе.
Получение зависимости y от x
Получилось квадратное уравнение. То есть точка движется по параболе.
Построим траекторию движения, рассчитав несколько её точек.
Построение траектории движения точки

Положение точки на траектории

Определим положения точки в начале движения и в заданный момент времени.
Для этого в исходные уравнения подставляем соответственно сначала 0
Расчет начального положения точки
а затем, половину секунды.
Координаты точки на траектории в заданный момент времени
Положение точки на ее траектории в заданный момент обозначим буквой M, и все остальные параметры будем рассчитывать для неё.
Перемещение точки по траектории

Расчет скорости точки

Направление и величину скорости точки определим как векторную сумму её проекций на оси координат.
Вектор скорости точки
Здесь i, j — орты осей x и y.
vx, vy — проекции вектора скорости на оси координат.

Проекции вектора скорости получим, взяв первые производные по времени t от соответствующих заданных уравнений движения точки.
Проекции вектора скорости точки
Далее выбрав масштаб, из точки M последовательно и с учетом знака, откладываем оба вектора.
Проекции вектора скорости на оси координат
Сам вектор скорости получим, соединив точку M с концом второго вектора и направив его по ходу движения точки.
Направление вектора скорости точки
Здесь надо отметить, что вектор скорости всегда должен располагаться по касательной к траектории. Любое другое положение будет указывать на ошибки в расчетах.

Рассчитаем модуль вектора скорости
Расчет модуля вектора скорости

Расчет ускорений точки

Проекции полного ускорения точки на оси координат определяются как вторая производная от исходных уравнений движения точки.
Расчет проекций вектора полного ускорения
Здесь, ax, ay – проекции ускорения точки на оси координат.

В этом примере, горизонтальная проекция ускорения оказалась равной нулю, поэтому его модуль и направление будут совпадать с вертикальной.
Модуль полного ускорения
Проекции ускорения точки
Касательная составляющая полного ускорения это производная скорости точки по времени.

Ее можно рассчитать по этой формуле.
Модуль касательного ускорения точки
Вектор касательного ускорения всегда направлен по линии вектора скорости.
Нормальное, касательное и полное ускорения точки
Положительная величина говорит об ускоренном движении точки и тогда направления скорости и касательного ускорения совпадают.
В противном случае они разнонаправлены, и движение точки замедляется.

Модуль нормального ускорения определим по формуле Пифагора, так как векторы касательного и центростремительного ускорений всегда взаимно перпендикулярны.
Модуль нормального ускорения

Расчет радиуса кривизны траектории

Осталось найти только радиус кривизны траектории в точке M, который равен отношению квадрата скорости к модулю нормального ускорения.
Расчет радиуса кривизны траектории
Радиус кривизны траектории точки

Результаты расчетов

Результаты вычислений для заданного момента времени t1=0,5c приведены в таблице:
Результаты расчетов
На рисунке показано положение точки M в заданный момент времени и векторы скорости и ускорений в выбранном масштабе.
Кинематика точки в заданный момент времени

Вектор v строим по составляющим vx и vy, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории.

Вектор a строим по составляющим ax и ay и затем раскладываем на составляющие векторы aτ и an. Совпадение величин aτ и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит критерием правильности решения.

Другие примеры решения задач >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:
Техническая механика Теоретическая механика Примеры решения задач теоретической механики Расчет скорости и ускорения точки по уравнениям ее движения

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Подробнее

Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату