Расчет скорости и ускорения точки по уравнениям ее движения

Пример решения РГР К1

Задача

Движение точки M задано уравнениями:

Уравнения движения точки в координатной форме

Требуется:
Установить вид траектории движения точки M, и для момента времени t = t1 = 0,5 с найти:

  • положение точки на траектории,
  • скорость, полное, касательное и нормальное ускорения,
  • радиус кривизны траектории.



    • Решение

      Расчет траектории движения точки

      Уравнения движения можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки.

      Чтобы узнать вид траектории в координатной форме, надо получить прямую зависимость между переменными x и y, для этого избавимся от параметра времени t, выразив его, например, из первого уравнения и подставив во второе.

      Получение зависимости y от x

      Уравнение траектории движения точки
      Получилось квадратное уравнение. То есть точка движется по параболе.

      Построим ее рассчитав несколько её точек.
      Расчет траектории

      Построение траектории движения точки
      Построение траектории движения точки

      Положение точки на траектории

      Определим положения точки в начале движения и в заданный момент времени.

      Для этого в исходные уравнения подставляем соответственно сначала 0
      Координаты начального положения точки

      потом половину секунды.
      Координаты точки на траектории в заданный момент времени
      Положение точки на ее траектории в заданный момент обозначим буквой M, и все остальные параметры будем рассчитывать для неё.

      Положение точки на траектории
      Положение точки на траектории

      Расет скорости точки

      Направление и величину скорости точки определим как векторную сумму её проекций на оси координат.
      Вектор скорости точки
      Здесь i, j — орты осей x и y.
      vx, vy — проекции вектора скорости на оси координат.

      Проекции вектора скорости получим, взяв первые производные по времени t от соответствующих заданных уравнений движения точки.
      Проекции вектора скорости точки
      Далее выбрав масштаб, из точки M последовательно и с учетом знака, откладываем оба вектора.

      Проекции вектора скорости на оси координат
      Проекции вектора скорости на оси координат

      Сам вектор скорости получим, соединив точку M с концом второго вектора и направив его по ходу движения точки.
      Направление вектора скорости точки
      Вектор скорости точки

      Здесь надо отметить, что вектор скорости всегда должен располагаться по касательной к траектории. Любое другое положение будет указывать на ошибки в расчетах.

      Рассчитаем модуль вектора скорости
      Модуль вектора скорости

      Расчет ускорений точки

      Проекции полного ускорения точки на оси координат определяются как вторая производная от исходных уравнений движения точки.
      Расчет проекций вектора полного ускорения
      В этом примере, горизонтальная проекция ускорения оказалась равной нулю, поэтому его модуль и направление будут совпадать с вертикальной.
      Модуль полного ускорения

      Проекции скорости точки на оси координат
      Проекции скорости точки на оси координат

      Касательная составляющая полного ускорения это производная скорости точки по времени.
      Касательное ускорение
      Ее можно рассчитать по этой формуле.
      Модуль касательного ускорения точки
      Вектор касательного ускорения, если оно, конечно, есть, всегда направлен вдоль вектора скорости.
      Нормальное, касательное и полное ускорения точки
      Нормальное, касательное и полное ускорения точки

      Положительная величина говорит об ускоренном движении точки и тогда направления скорости и касательного ускорения совпадают.
      В противном случае они разнонаправлены, и движение точки замедляется.

      Модуль нормального ускорения определим по формуле Пифагора, так как векторы касательного и центростремительного ускорений всегда взаимно перпендикулярны.
      Модуль нормального ускорения

      Расчет радиуса кривизны траектории

      Осталось найти только радиус кривизны траектории в точке M, который равен отношению квадрата скорости к модулю нормального ускорения.
      Получение зависимости y от x

      Радиус кривизны траектории точки
      Радиус кривизны траектории точки

      Результаты расчетов

      Результаты расчетов
      На рисунке показано положение точки M в заданный момент времени и векторы скорости и ускорений в выбранном масштабе.

      Скорость, ускорение и радиус кривизны траектории в заданный момент времени
      Скорость, ускорение и радиус кривизны траектории в заданный момент времени

      Вектор v строим по составляющим vx и vy, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории.

      Вектор a строим по составляющим ax и ay и затем раскладываем на составляющие векторы aτ и an. Совпадение величин aτ и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит критерием правильности решения.

      Другие примеры решения задач >>






Лекции и решения задач по теормеху, сопротивлению материалов, прикладной механике, ТММ и ДМ