Расчет статически неопределимой стержневой системы

Пример расчета статически неопределимой балочно-стержневой системы (СНСС) на прочность и составление уравнения совместности деформаций для раскрытия статической неопределимости системы.

Задача

Абсолютно жесткий брус (балка), закрепленный в шарнирно неподвижной опоре и удерживаемый в горизонтальном положении двумя стержнями (тягами) 1 и 2, составляет статически неопределимую систему
Статически неопределимая стержневая система с двумя стержнями

Один из стержней расположен под углом 45° к продольной оси бруса.

Площадь поперечного сечения стержня 1 должна быть в два раза больше площади сечения второго стержня A1=2A2.

Балка нагружена внешней поперечной сосредоточенной силой F=10кН.

Требуется:

  1. Раскрыть статическую неопределимость;
  2. Рассчитать внутренние усилия в стержнях системы;
  3. Определить по условию прочности диаметры стержней 1 и 2 при заданном соотношении площадей поперечного сечения.

Материал стержней – сталь, с пределом текучести σТ=240МПа, коэффициент запаса прочности nТ=1,5.

Решение

Заменим стержни внутренними продольными усилиями N.

Обозначим усилия в стержнях 1 и 2 соответственно N1 и N2.

Очевидно, что под действием силы F стержень 1 растягивается, стержень 2 – сжимается. Поэтому сразу зададим их реакциям соответствующие направления
Замена стержней СНСС продольными усилиями для расчета

Раскрытие статической неопределимости стержневой системы

Определим степень статической неопределимости заданной системы.

В опорах системы возникает четыре неизвестных усилия – продольные силы в стержнях и две составляющие реакции в шарнирно неподвижной опоре B.

Для плоской системы можно составить только три уравнения равновесия.

Определение степени статической неопределимости стержневой системы
т.е. система 1 раз статически неопределима.

Уравнение суммы моментов относительно точки B бруса
Уравнение равновесия статически неопределимой стержневой системы

Для определения неизвестных усилий в стержнях, составленного уравнения равновесия недостаточно.

Следовательно, требуется составить дополнительное выражение — уравнение совместности деформаций стержней.

Для этого схематично покажем систему в деформированном состоянии, при котором брус BD под действием силы F повернулся относительно шарнира B на некоторый малый угол
Деформированное состояние статически неопределимой системы

Для малых углов поворота бруса, перемещения его точек можно считать вертикальными.

В результате деформации системы, точка C стержня №1 перемещается в положение C1, а точка D стержня №2 в положение D1
Совместность деформаций стержней статически неопределимой системы

При этом изменится длина стержней: стержень 1 растянется на величину Δl1 (отрезок CC1), стержень 2 сожмется на Δl2 (DK).

Для определения изменения длины стержней расположенных под углом, из крайней точки D1 стержня проводится линия D1K, перпендикулярная начальному положению стержня.

Деформации стержней при растяжении и сжатии (по закону Гука):
Формулы деформации стержней статически неопределимой системы

Определив геометрическую зависимость между этими деформациями, получим второе уравнение для расчета усилий в стержнях.

Из подобия треугольников BCC1 и BDD1 находим взаимную зависимость перемещений точек C и D
Зависимость перемещений точек статически неопределимой системы

Откуда получаем зависимость (совместность) деформаций стержней 1 и 2
Уравнение совместности деформаций статически неопределимой стержневой системы
и зависимость между усилиями N1 и N2
Уравнение зависимости усилий статически неопределимой стержневой системы

Подставляем полученное выражение в уравнение равновесия (1) и находим величину N2
Раскрытие статической неопределимости стержневой системы

Статическая неопределимость стержневой системы раскрыта.

Из уравнения (2) рассчитываем величину усилия N1
Определение усилия в стержне статически неопределимой системы

Расчет стержневой СНС на прочность

Допускаемое напряжение для материала стержней
Расчет значения допустимых напряжений для стали

Из условия прочности определяем расчетные площади сечения A1 и A2 и диаметры d1 и d2 стержней
Определение диаметров стержней статически неопределимой системы

Проверка на прочность
Проверка прочности стержней статически неопределимой системы

Прочность статически неопределимой стержневой системы обеспечена.

Ответ: площади сечения стержней: d1=8,8мм, d2=6,2мм.


Дополнительно:

Сохранить или поделиться
Вы находитесь здесь:

Решим ваши задачи
Поможем на экзамене

Онлайн помощь с решением задач по механике
Онлайн помощь с решением задач по механике