Теорема о движении центра масс механической системы формулируется так: центр масс механической системы движется как материальная точка с массой, равной массе системы, под действием главного вектора внешних сил, действующих на эту механическую систему.

Рисунок 1.1

Выделим условно из механической системы (рисунок 1.1) некоторую материальную точку M_j(m_j), на которую будут действовать две силы:

Fⁱ_j – равнодействующая всех внутренних сил системы;
F^e_j – равнодействующая всех внешних сил системы.

Рассматривая выделенную точку как свободную, запишем для нее дифференциальное уравнение в векторной форме:

Составим аналогичным образом уравнения (1.5) для всех точек системы (j = 1,2,3,…,n) и формально их просуммируем:

Рассмотрим суммы, стоящие в правой части равенства (1.6):

– главный вектор всех внутренних сил механической системы, который всегда равен нулю (по свойству внутренних сил);

– главный вектор всех внешних сил, действующих на механическую систему.

Преобразуем левую часть равенства (1.6):

В результате уравнение (1.6) принимает вид

или

Проецируя векторное равенство (1.8) на неподвижные оси декартовых координат, получаем три дифференциальных уравнения движения центра масс:

Следствия из теоремы

Рассмотрим следствия из теоремы о движении центра масс, вытекающие из формул (1.8) и (1.10):

1. если главный вектор внешних сил, действующих на механическую систему, равен нулю, т.е.
   
   то a_c = 0 или V_c = const. При этом, если в начальный момент центр масс механической системы был в покое (V_c = 0), то и в дальнейшем центр масс остается неподвижным (r_c = const);
2. если проекция на какую-либо ось (например на ось Ox) главного вектора внешних сил, действующих на механическую систему, равна нулю, т.е.
   
   то a_cx = 0 или V_cx = const, т.е. имеем закон сохранения проекции скорости центра масс: если проекция главного вектора (алгебраическая сумма проекций) всех действующих на механическую систему внешних сил на какую-либо неподвижную ось равна нулю, то проекция скорости центра масс на эту же ось остается постоянной.

В частности, если в начальный момент V_cx = 0, то и в последующие моменты V_cx = 0 и, следовательно, x_c = const, т.е. центр масс системы в этом случае вдоль оси Ox не перемещается.

---

Далее: