Рассмотрим порядок расчета скоростей и ускорений точек при сферическом движении твердого тела, т.е. при его вращении вокруг неподвижной точки:

Скорости точек твердого тела, совершающего сферическое движение, в каждый момент времени определяются как их вращательные скорости при вращении вокруг мгновенной оси
Ω (рисунок 3.4).

Зная положение мгновенной оси вращения
Ω и угловую скорость тела
ω, можно определить скорость любой точки тела M как скорость этой точки во вращательном движении вокруг мгновенной оси по известной формуле

где
r — радиус-вектор точки
M, проведенный из неподвижной точки O.

Модуль скорости

где h_Ω — расстояние точки от мгновенной оси вращения.

Введем подвижную Oxyz и неподвижную
Ox₁y₁z₁ системы координат аналогично рисунку 3.1.

Если положение мгновенной оси Ω уже установлено, то для нахождения угловой скорости
ω достаточно знать скорость ν какой-либо точки M, не лежащей на мгновенной оси (рисунок 3.4).

Тогда, опустив из этой точки перпендикуляр
h_Ω на мгновенную ось
Ω, получим ν = ω⋅ h_Ω, откуда

Для определения ускорения точки твердого тела служит теорема Ривальса: ускорение любой точки твердого тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма ее вращательного и осестремительного ускорений

где

Модули этих ускорений (рисунок 3.5)

где
h_E — расстояние от точки до оси углового ускорения E,

h_Ω — расстояние от точки до мгновенной оси Ω.

Модуль ускорения точки можно найти как диагональ параллелограмма:

При сферическом движении осестремительное ускорение
a_Ω^ос направлено по перпендикуляру, опущенному из точки на мгновенную ось
Ω, а вращательное ускорение a_E^вр оказывается перпендикулярно плоскости проходящей через вектор углового ускорения
ε и радиус-вектор r.

Направление вращательного ускорения не совпадает с направлением скорости ν.

Пример решения задачи по теме >