Скорости и ускорения точек при сферическом движении тела

Скорости точек твердого тела, совершающего сферическое движение, в каждый момент времени определяются как их вращательные скорости при вращении вокруг мгновенной оси Ω (рисунок 3).

Скорость точки M при сферическом движении твердого тела

Рисунок 3

Зная положение мгновенной оси вращения Ω и угловую скорость тела ω, можно определить скорость любой точки тела M как скорость этой точки во вращательном движении вокруг мгновенной оси по известной формуле

Формула для определения скорости точки твердого тела M

где
r — радиус-вектор точки M, проведенный из неподвижной точки O.

Модуль скорости

Формула для определения величины модуля скорости точки

где hΩ — расстояние точки от мгновенной оси вращения.

Введем подвижную Oxyz и неподвижную Ox1y1z1 системы координат аналогично рисунку 1.

Для проекций скорости точки на неподвижные и подвижные оси получены формулы Эйлера:

  • для неподвижной системы координат
    Формулы для расчета проекций скорости точки на оси неподвижной системы координат
  • для подвижной системы координат
    Формулы для расчета проекций скорости точки на оси подвижной системы координат

Из этих формул можно получить уравнения мгновенной оси в неподвижной и подвижной системах координат, положив для точек, лежащих на мгновенной оси, все проекции скорости равными нулю.

  • Для неподвижной системы координат:
    Уравнения мгновенной оси в неподвижной системе координат
  • Для подвижной системы координат:
    Уравнения мгновенной оси вращения в подвижной системе координат

Если положение мгновенной оси Ω уже установлено, то для нахождения угловой скорости сферического движения ω достаточно знать скорость v какой-либо точки M, не лежащей на мгновенной оси (рисунок 3).

Полное, вращательное и осестремительное ускорения точки

Рисунок 4

Тогда, опустив из этой точки перпендикуляр hΩ на мгновенную ось Ω, получим v = ω × hΩ, откуда

Формула угловой скорости при сферическом движении твердого тела

Для определения ускорения точки твердого тела служит теорема Ривальса: ускорение любой точки твердого тела при сферическом движении определяется как геометрическая сумма ее вращательного и осестремительного ускорений

Полное ускорение точки при сферическом движении равно сумме вращательного и осестремительного ускорений

где
Формула вращательного ускорения точки при сферическом движении
— вращательное ускорение точки,
Формула осестремительного ускорения точки в векторном виде
— осестремительное ускорение точки.

Модули этих ускорений (рисунок 4)

Формулы для определения модулей вращательного и осестремительного ускорений точки

где
hE — расстояние от точки до оси углового ускорения E,

hΩ — расстояние от точки до мгновенной оси Ω.

Модуль ускорения точки можно найти как диагональ параллелограмма:

Формула для расчета модуля полного ускорения точки при сферическом движении тела

При сферическом движении вектор осестремительного ускорения aΩос направлен по перпендикуляру, опущенному из точки на мгновенную ось Ω, а вращательное ускорение aEвр оказывается перпендикулярно плоскости проходящей через вектор углового ускорения ε и радиус-вектор r.

Направление вращательного ускорения не совпадает с направлением вектора скорости v.


Далее:

Сохранить или поделиться
Вы находитесь здесь:
Техническая механика Теоретическая механика Краткий курс теории по теоретической механике Скорости и ускорения точек при сферическом движении тела

У нас можно заказать решение
и помощь по разным предметам

Онлайн помощь с решением задач по механике