Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки

Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки

Решение задачи (РГР) Д1 «Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки» по разделу «динамика» теоретической механики.

Пример определения уравнений движения точки в координатной форме для свободной материальной точки массой m движущейся под действием силы F.

Рассмотрим следующие случаи выражения силы, действующей на точку:

  1. сила зависит от времени;
  2. сила зависит от положения точки в пространстве;
  3. сила зависит от скорости точки.

Задача

Пусть свободная материальная точка массой m движется под действием силы

где b1, b2, b3 — некоторые постоянные коэффициенты при начальных условиях
x0 = 0, y0 = 0, z0 ≠ 0,
vx0 = 0, vy0 ≠ 0, vz0 = 0.

Необходимо определить уравнения движения точки в координатной форме.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Решение

Запишем для этой точки дифференциальные уравнения в проекциях на декартовы оси координат

Первое уравнение системы (7) можно представить в виде двух уравнений первого порядка

В первом уравнении связаны две переменные величины: проекция скорости на ось x и время. Разделяя переменные, получим

Слева и справа от знака равенства стоят дифференциалы некоторых функций.

Если дифференциалы равны, то и интегралы равны с точностью до постоянной интегрирования

После интегрирования получим

т.е. зависимость проекции скорости точки на ось x от времени. Из второго уравнения системы (8) получим

Снова, разделяя переменные, получим

После интегрирования получим

Постоянные C1 и C2 определим по начальным условиям. Подставляя в выражение (10) значение координаты x при t=0, получаем

отсюда

Постоянную C1 определим, подставляя в (9) значение vx при t=0:

отсюда C1=0.

Таким образом, решение первого уравнения системы (7) имеет вид

Второе уравнение системы (7) также представляем в виде двух уравнений

Разделяя переменные в первом уравнении, получим

или

Решая относительно vy, получим

Учитывая второе уравнение системы (12) снова получаем

Разделяя переменные и интегрируя, получим

Постоянные C3 и C4 определяем по начальным условиям.

Из (13)

Из (14)

или

Таким образом, решение второго уравнения системы (7) имеет вид

Третье уравнение системы (7) также представляем в виде двух уравнений

В первом уравнении системы (16), связаны три переменных величины: скорость, время и координата точки.

Чтобы разделить переменные необходимо исключить одну из них. Произведем замену

Тогда первое уравнение (16) примет вид

Теперь можно разделить переменные

Интегрируя, получим

Решая относительно vz, получим

По начальным условиям найдем постоянную C5.

Подставляя в (17) vz0= 0 и z0, получим


и

Учитывая, что

выражение (17) запишется в виде

Разделив переменные, приведем его к виду

Вынося из под знака корня в знаменателе b3/m, получим

Интегрируем

Решая относительно z получаем

Постоянную C6 найдем по начальным условиям.

При t=0, z0≠0, отсюда

или

Решая относительно C6, получим

или C6=0.

Таким образом, решение третьего уравнения системы (7) будет иметь вид

Окончательно уравнения движения точки в координатной форме имеют вид:

Другие примеры решения задач >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:
Техническая механика Теоретическая механика Решение задач динамики Интегрирование дифференциальных уравнений движения материальной точки

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Подробнее

Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату