Расчет абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Пример решения задачи по определению в заданный момент времени при сложном движении, абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки, которая движется по ободу диска вращающегося вокруг оси.

Задача

Диск радиуса R=0,5 м вращается вокруг оси, лежащей в его плоскости и касающейся диска, с угловой скоростью ω=πt2 c-1 (рисунок 3.5). По ободу диска движется точка M по закону: ∪OM=πRt2/6 м.

Сложное движение точки

Рисунок 3.5

Требуется, в момент времени t=2c определить абсолютные скорость и ускорение точки M.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Решение

Точка M в данном примере совершает сложное движение, которое может быть разложено на два движения: относительное движение — движение точки M по движущемуся диску (именно с ним может быть скреплена подвижная система отсчета) и переносное движение — вращение диска вместе с находящейся на нем точкой.

Поскольку переносное движение по определению это движение той точки диска, в которой находится в данный момент точка M, то сначала необходимо определить положение точки M на диске в момент времени t=2 c:

Положение точки M

Центральный угол составит

Центральный угол

Расчет скорости

В относительном движении закон движения задан естественным способом, поэтому скорость определяется как производная его дуговой координаты и направлена по касательной к траектории относительного движения в плоскости диска:

Переносное движение в данном случае — вращение вокруг неподвижной оси O2O3, расстояние до которой от точки M равно KM.

По направлению вектора угловой скорости ω определяем, что при вращении вокруг оси O2O3 точка M движется к нам, то есть вектор Ve перпендикулярен плоскости диска и для выбранной системы отсчета Mxyz, скрепленной с диском, направлен по оси Mx.

Скорости точки при сложном движении

Рисунок 3.6

Абсолютная скорость точки в нашем примере определяется как геометрическая сумма векторов:

Геометрическая сумма векторов

численная величина:

Спроецировав векторную сумму на выбранные оси координат, получим проекции абсолютной скорости на эти оси:

Расчет проекции абсолютной скорости на оси

Направление вектора скорости определяют направляющие косинусы, то есть углы, которые вектор скорости составляет с выбранными осями:

Направляющие косинусы

Расчет ускорения

В данном примере и переносные и относительные движения точки M — криволинейные, поэтому абсолютное ускорение определяется по формуле:

Формула абсолютного ускорения

Составляющие ускорения определяются независимо друг от друга. В переносном движении точка M вращается вокруг оси O2O3 и движется по окружности радиуса h (рисунок 3.7).

Ускорения точки при сложном движении

Рисунок 3.7

Нормальное ускорение в этом движении:
Нормальное ускорение

Этот вектор направлен от точки M к точке K (к оси вращения).

Касательное ускорение в переносном движении определится по формуле

Касательное ускорение в переносном движении

Знак производной положителен, то есть вращение ускоренное и направления векторов Ve и aeτ совпадают:

В относительном движении точка M движется по окружности радиуса R. Нормальное ускорение:

Нормальное ускорение

Этот вектор направлен от точки M к центру окружности — точке O1.

Касательное ускорение в относительном движении:

Касательное ускорение в относительном движении

Производная от относительной скорости получена со знаком плюс, поэтому aeτ совпадает по направлению с Vr.

Кориолисово ускорение определяется по формуле

Формула кориолисова ускорения

Вектор кориолисова ускорения должен быть перпендикулярен векторам ωe и Vr (в нашем случае перпендикулярен плоскости чертежа). Если смотреть навстречу вектору ak, то мы должны видеть поворот вектора ωe (мысленно перенесенного в точку) на кратчайший угол до совмещения с вектором Vr, происходящий против хода часовой стрелки. То есть в этом примере вектор ak направлен по оси Mx к нам.

Направление кориолисова ускорения может быть определено и по правилу Жуковского. Проецируем вектор V на плоскость, перпендикулярную вектору ωe (на плоскость Mxy; в данном примере эта проекция совпадает с осью My), и поворачиваем проекцию Vr на 90o в сторону вращения, то есть вектор ak направлен к нам по оси Mx.

Для определения абсолютного ускорения проецируем векторное равенство (3.6) на оси координат:

Проекции векторного равенства на оси координат

Направление вектора ускорения определяется с помощью направляющих косинусов (см. формулы (3.7)):

Направление вектора ускорения

Другие примеры решения задач >

Сохранить или поделиться с друзьями

Вы находитесь тут:
Техническая механика Теоретическая механика Примеры решения задач теоретической механики Расчет абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки

Уважаемые студенты!
На нашем сайте можно получить помощь по техническим и другим предметам:
✔ Решение задач и контрольных
✔ Выполнение учебных работ
✔ Помощь на экзаменах

Подробнее

Решение задач и лекции по технической механике, теормеху и сопромату