Пример решения задачи по определению в заданный момент времени абсолютной скорости и абсолютного ускорения точки, которая движется по ободу диска вращающегося вокруг оси.
Задача
Диск радиуса R=0,5 м вращается вокруг оси, лежащей в его плоскости и касающейся диска, с угловой скоростью ω=πt2 c-1 (рисунок 3.5). По ободу диска движется точка M по закону: ∪OM=πRt2/6 м. В момент времени t=2 c определить абсолютные скорость и ускорение точки M.
Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >
Решение
Точка M в данном примере совершает сложное движение, которое может быть разложено на два движения: относительное движение — движение точки M по движущемуся диску (именно с ним может быть скреплена подвижная система отсчета) и переносное движение — вращение диска вместе с находящейся на нем точкой.
Поскольку переносное движение по определению это движение той точки диска, в которой находится в данный момент точка M, то сначала необходимо определить положение точки M на диске в момент времени t=2 c:
Центральный угол
Расчет скорости
В относительном движении закон движения задан естественным способом, поэтому скорость определяется как производная его дуговой координаты и направлена по касательной к траектории относительного движения в плоскости диска:
t=2 c,
Vr=2π∙0,5∙2/3=2,09 м/с.
Переносное движение в данном случае — вращение вокруг неподвижной оси O2O3, расстояние до которой от точки M равно KM.
Ve=ω∙h=πt2∙h=π∙22∙0,75=9,42 м/с.
По направлению вектора угловой скорости ω определяем, что при вращении вокруг оси O2O3 точка M движется к нам, то есть вектор Ve перпендикулярен плоскости диска и для выбранной системы отсчета Mxyz, скрепленной с диском, направлен по оси Mx.
Абсолютная скорость точки в нашем примере определяется как геометрическая сумма векторов Ve и Vr:
численная величина:
Спроецировав векторную сумму на выбранные оси координат, получим проекции абсолютной скорости на эти оси:
Vy=Vr∙cos30o=2,09∙0,87=1,82 м/с;
Vz=Vr∙sin30o=2,09∙0,5=1,045 м/с.
Направление вектора скорости определяют направляющие косинусы, то есть углы, которые вектор скорости составляет с выбранными осями:
Расчет ускорения
В данном примере и переносные и относительные движения точки M — криволинейные, поэтому абсолютное ускорение определяется по формуле:
Составляющие ускорения определяются независимо друг от друга. В переносном движении точка M вращается вокруг оси O2O3 и движется по окружности радиуса h (рисунок 3.7). Нормальное ускорение в этом движении:
Этот вектор направлен от точки M к точке K (к оси вращения).
Касательное ускорение в переносном движении определится по формуле
Знак производной положителен, то есть вращение ускоренное и направления векторов Ve и aeτ совпадают:
В относительном движении точка M движется по окружности радиуса R. Нормальное ускорение:
Этот вектор направлен от точки M к центру окружности — точке O1.
Касательное ускорение в относительном движении:
Производная от относительной скорости получена со знаком плюс, поэтому aeτ совпадает по направлению с Vr.
Кориолисово ускорение определяется по формуле
=2∙πt2∙2πRt/3∙0,866=
=2∙π∙22∙π∙0,5∙2∙0.866=45,54 м/с2.
Вектор кориолисова ускорения должен быть перпендикулярен векторам ωe и Vr (в нашем случае перпендикулярен плоскости чертежа). Если смотреть навстречу вектору ak, то мы должны видеть поворот вектора ωe (мысленно перенесенного в точку) на кратчайший угол до совмещения с вектором Vr, происходящий против хода часовой стрелки. То есть в этом примере вектор ak направлен по оси Mx к нам.
Направление кориолисова ускорения может быть определено и по правилу Жуковского. Проецируем вектор V на плоскость, перпендикулярную вектору ωe (на плоскость Mxy; в данном примере эта проекция совпадает с осью My), и поворачиваем проекцию Vr на 90o в сторону вращения, то есть вектор ak направлен к нам по оси Mx.
Для определения абсолютного ускорения проецируем векторное равенство (3.6) на оси координат:
=0+9,42∙1+0+0+45,54∙1=54,96 м/с2;
ay=aencos180o+aeτcos90o+arncos120o+arτcos30o+akcos90o=
=-112,32+0+8,76(-0,5)+1,046∙0,87+0=-121,79 м/с2;
az=aencos90o+aeτcos90o+arncos30o+arτcos60o+akcos90o=
=0+0+8,76∙0,87+1,046∙0,5+0=8,14 м/с2.
Направление вектора ускорения определяется с помощью направляющих косинусов (см. формулы (3.7)):