Задача
Треугольник D вращается вокруг оси O1O2 (рис. 1, а). По стороне треугольника движется точка M. По заданным уравнениям относительного движения точки M и движения треугольника D определить для момента времени t= t1 абсолютную скорость и абсолютное ускорение точки M.
φe= 0,9 t2— 9 t3, рад; t1= 2/9 с.
Решение
Точка M совершает сложное движение. Движется относительно треугольника D и вместе с треугольником вращается вокруг оси O1O2. Тогда движение точки относительно треугольника будет относительным, движение вместе с треугольником – переносным.
Будем считать, что в заданный момент времени плоскость чертежа совпадает с плоскостью треугольника D. Положение точки M на треугольнике D определяется расстоянием sr= OM.
При t = 2/9 с
Абсолютную скорость точки М найдем как геометрическую сумму относительной и переносной скоростей:
Модуль относительной скорости vr = | vr |, где
vr= dsr/dt = 24π sin(3π t) — алгебраическое значение относительной скорости.
При t = 2/9 с
vr= 65,2 см/с.
Положительный знак у vr показывает, что вектор vr направлен в сторону возрастания sr.
Модуль переносной скорости
где R – радиус окружности L, описываемой той точкой тела, с которой в данный момент совпадает точка М;
R = srsin 30° = 10,0 см;
ωe – модуль угловой скорости тела
При t = 2/9 с
Отрицательный знак у величины ωe показывает, что вращение треугольника происходит вокруг оси Oz в сторону, обратную направлению отсчета угла φ. Поэтому вектор ωe направлен по оси Oz вниз (рис. 1, б).
Модуль переносной скорости по формуле (1)
Вектор ve направлен по касательной к окружности L в сторону вращения тела.
Так как ve и vr взаимно перпендикулярны, модуль абсолютной скорости точки М
Абсолютное ускорение точки равно геометрической сумме относительного, переносного и кориолисова ускорений
или в развернутом виде
Модуль относительного касательного ускорения
При t = 2/9 с
Отрицательный знак arτ показывает, что вектор arτ направлен в сторону отрицательных значений sr. Знаки vr и arτ различны, следовательно, относительное движение точки М замедленное.
Относительное нормальное ускорение
так как траектория относительного движения – прямая (ρ = ∞).
Модуль переносного вращательного ускорения
где εе = | εе | – модуль углового ускорения тела D
При t = 2/9 c
Знаки εе и ωe одинаковы; следовательно, вращение треугольника D ускоренное, направления векторов εе и ωe совпадают (рис. 1, б, в).
Согласно (2) aeв= 102 см/с2. Вектор aeв направлен в ту же сторону, что и вектор ve.
Модуль переносного центростремительного ускорения
Вектор aцe направлен к центру окружности L.
Кориолисово ускорение
Модуль кориолисова ускорения
С учетом найденных выше значений ωe и vr получаем
Вектор aC направлен, согласно правилу векторного произведения, к нам — перпендикулярно плоскости треугольника D (рис. 1, в).
Модуль абсолютного ускорения точки М находим способом проекций:
Результаты расчета сведены в таблицу 1.