Рассмотрим понятия угловой скорости и углового ускорения при вращении твердого тела в теории и на примерах решения задач.
Угловая скорость
Угловой скоростью называют скорость вращения тела, определяющуюся приращением угла поворота тела за некоторый промежуток (единицу) времени.
Данный параметр показывает, на какой угол (например, в радианах) поворачивается тело за единицу времени (например, за 1 секунду).
Обозначение угловой скорости: ω (омега).
Единицы измерения: [рад/с], [c-1].
Рассмотрим некоторое твердое тело, вращающееся относительно неподвижной оси.
С этим телом свяжем воображаемую плоскость П, которая совершает вращение вместе с заданным телом.
Вращательное движение определяется двугранным углом φ между двумя плоскостями, проходящими через ось вращения. Изменение этого угла с течением времени есть закон вращательного движения:
Положительным считается угол, откладываемый против хода часовой стрелки, если смотреть навстречу выбранному направлению оси вращения Oz. Угол измеряется в радианах.
Быстрота изменения угла φ (перемещения плоскости П из положения П1 в положение П2) – это и есть угловая скорость:
Приняв вектор k как единичный орт положительного направления оси, получим:
Вектор угловой скорости – скользящий вектор: он может быть приложен к любой точке оси вращения и всегда направлен вдоль оси, при положительном значении угловой скорости направления ω и k совпадают, при отрицательном – противоположны.
Формулы угловой скорости
Формула для расчета угловой скорости в зависимости от заданных параметров вращения может иметь вид:
- если задан угол поворота φ (радиан) за единицу времени (секунду), угловая скорость [рад/с] или [c-1] вычисляется по формуле:
- если известна окружная скорость точки тела v [м/с] и расстояние от оси вращения до этой точки r [м], угловая скорость [рад/с] или [c-1]:
- если известно количество оборотов n за единицу времени t (частота вращения):
Дополнительные размерности угловой скорости:
- Угол поворота в градусах в секунду [град/с], или радиан в минуту [мин-1].
- частота вращения: количество оборотов в минуту [об/мин].
Перевод частоты вращения в угловую скорость
В технике, частота вращения часто задается в оборотах в минуту n [об/мин]. Один оборот равен 2π радиан.
Для перевода частоты вращения об/мин в угловую скорость рад/с (c-1) используется следующая формула:
Например, тело, совершающее 1,5 оборота за одну секунду, имеет угловую скорость:
Определение угловой скорости
Пример: Диск вращается относительно своего центра.
Известна скорость v некоторой точки A, расположенной на расстоянии r от центра вращения диска.
Определить величину и направление угловой скорости диска ω, если v = 5 м/с, r = 70 см.
Таким образом, угловая скорость диска составляет 7,14 оборотов в секунду. Направление угловой скорости можно определить по направлению скоростей её точек.
Вектор скорости точки A стремится повернуть диск относительно центра вращения против хода часовой стрелки, следовательно, направление угловой скорости вращения диска имеет такое же направление.
Угловое ускорение
Угловое ускорение характеризует величину изменения угловой скорости при вращении твердого тела.
Параметр показывает, на какую величину изменяется угловая скорость тела в единицу времени.
Обозначение: ε (эпсилон)
Единицы измерения углового ускорения: [рад/с2], [с-2]
Вектор углового ускорения так же направлен по оси вращения. При ускоренном вращении их направления совпадают, при замедленном — противоположны.
Другими словами, при положительном ускорении угловая скорость нарастает (вращение ускоряется), а при отрицательном — уменьшается (вращение замедляется).
Для некоторых частных случаев вращательного движения твердого тела могут быть использованы формулы:
- равномерное вращение (ω=const)
- равнопеременное вращение (ε=const)
Расчет углового ускорения
Пример: По заданному значению касательной составляющей полного ускорения aτ точки B, расположенной на расстоянии r от центра вращения колеса.
требуется определить величину и направление углового ускорения колеса ε, если касательное ускорение точки aτ = 10 м/с2, расстояние от точки до центра вращения колеса r = 50 см.
Угловое ускорение колеса в заданный момент времени составляет 20 радиан в секунду за секунду. Направление углового ускорения определяется по направлению тангенциального ускорения точки.
Здесь, угловое ускорение направлено противоположно направлению угловой скорости вращения колеса. Это означает, что вращение колеса замедляется.
Далее:
