Задача
С невесомым валом AB шарнирно скреплен однородный стержень OD длиной l и массой m1, имеющий на конце груз массой m2.
Вал и стержень вращаются вокруг оси OZ с постоянной угловой скоростью ω. Известны b1 и b2 – расстояния от опор до точки крепления стержня (рисунок 1.4).
Определить угол отклонения стержня от вертикали — α, как функцию угловой скорости и реакции опор A и B.
Решение
Применим принцип Даламбера для данной системы. Проведем вращающиеся вместе с валом и стержнем оси координат Axyz так, чтобы стержень OD находился в плоскости yAz. Внешние силы: G1, G2; реакции опор: xA, yA, zA, xB, yB; силы инерции Φ1 и Φ2 (рисунок 1.5).
Отклонение стержня от вертикали происходит за счет сил инерции. Определенной угловой скорости соответствует свой угол отклонения. Величина силы инерции стержня определяется из формулы
и направлена перпендикулярно к оси вращения, в сторону, противоположную ускорению центра масс стержня.
Эпюра распределения сил инерции стержня представляет собой треугольник (элементарные силы инерции частичек стержня возрастают с удалением от точки O к точке D, т.к. растет их ускорение с увеличением радиуса вращения). Результирующая таких сил приложена на расстоянии 2/3 длины стержня от точки O (см. раздел «Статика», распределенные нагрузки).
Сила инерции точечной массы
Напишем для равновесия стержня при данной угловой скорости ω уравнение моментов относительно точки O – точки крепления стержня:
подставляем данные:
+ m1∙ω2∙l/2∙sinα∙2/3∙l∙cosα +
+ m2∙ω2∙l∙sinα∙l∙cosα=0
определяем угол:
Для определения реакций опор вала составим уравнения равновесия:
Σy=0, yA+yB+Φ1+Φ2=0,
Σz=0, -G1-G2+zA=0,
ΣMx=0,
-G1∙l/2∙sinα-G2lsinα-yB(b1+b2)-Φ1(b2-2/3∙lcosα)-Φ2(b2-lcosα)=0,
ΣMy=0, xB(b1+b2)=0.
ΣMz=0 — вращающие моменты отсутствуют, система вращается по инерции, с постоянной угловой скоростью.
Из имеющихся пяти уравнений, подставляя данные задачи, можно найти пять неизвестных реакций в опорах A и B.
