Кинематический анализ плоского механизма

Решение задачи (РГР) К3 «Кинематический анализ плоского механизма» по разделу «кинематика» теоретической механики.

Пример определения в заданном положении, скоростей и ускорений точек твердого тела при плоском движении.

Задача

Вершины A и B равностороннего треугольника ABD перемещаются соответственно по осям OХ и OY. Известны: размер АB = 40 см, скорость V_A = 4√3 м/с, ускорение a_A = 100 м/с² и угол α = 60°.

Рисунок 21

Требуется провести кинематический анализ плоского механизма и определить скорости и ускорения точек B и D треугольника в заданном положении.

Теория по теме задачи

Решение

Кинематический анализ и определение скоростей точек

Проводим кинематический анализ механизма:

1) По теореме о скоростях точек в плоскопараллельном движении:

Направление и величина скорости точки А, V_A известны, скорость точки B направлена вдоль оси OY, а скорость V_BA перпендикулярна стороне АВ.

Строим равенство (1) (см. рисунок 22).

Рисунок 22

Из точки О₁, параллельно оси ОХ, вдоль которой движется точка А, откладываем в масштабе вектор V_A. Из конца вектора V_A проводим линию MN перпендикулярно стороне треугольника AB (60° с вертикалью), тогда пересечение линии O₁K параллельно оси OY и MN обозначит вектор V_B.

Полученный треугольник скоростей соответствует формуле (1). Умножив масштаб на длины векторов, получим их величины.

Если рисунок 22 строится без соблюдения масштаба, то определение величин скоростей производится с помощью теоремы синусов:

Поскольку V_BA = ω_AB × AB, то может быть определена угловая скорость вращения точки B вокруг A (или, что то же самое, угловая скорость вращения треугольника ABD).

В данном примере не известно направление скорости точки D. Поэтому для определения скорости точки D пишем:

Аналогично (рисунок 22) делаем построение для определения скорости точки D (рисунок 23).

Рисунок 23

Линия ad перпендикулярна стороне треугольника AD, bd перпендикулярна BD. Точка D – точка пересечения линии ad и bd определяет конец вектора, проведенного из точки O₁; отрезок ad соответствует вектору V_DA, bd – вектору V_DB. При известных углах можно определить величину скорости V_D точки D.

2) Определение скоростей точек с помощью мгновенного центра скоростей.

Мгновенный центр скоростей звена AB — P_V находится в точке пересечения перпендикуляров к скоростям точек (см. рисунок 24) – (АP_V ⊥ V_A, BP_V ⊥ оси OY, вдоль которой направлена скорость точки B), после нахождения МЦС — можно написать соотношение

Направление вращения треугольника определяем по вращению точки A вокруг точки P_V (в данном случае против хода часовой стрелки).

Величина угловой скорости треугольника

Далее определяем величины скоростей других точек:

Векторы скоростей перпендикулярны соответствующим отрезкам BP_V и DP_V, и направлены в сторону вращения.

Рисунок 24

Определение ускорений точек

1) Ускорение точки B определяется по формуле

Ускорение точки A задано, т.е. известно по величине и направлению; ускорение a^ц_AB направлено от точки B к точке A и вычисляется по формуле

Известно также, что вектор a_B направлен вдоль оси OY, т.к. точка B движется вдоль этой оси, а вектор a^вр_AB направлен перпендикулярно линии AB. С учетом сказанного можно построить эти векторы (рисунок 25а) или построить равенство (4) (рисунок 25б) и спроецировать его на выбранные оси координат B_X1 и B_Y1:

Рисунок 25а

Рисунок 25б

проекции на ось B_X1

на ось B_Y1

или

Оба ускорения a_B и a^вр_BA оказались положительными. Это значит, что предварительный выбор направления (рисунок 25а) оказался верным.

Из формулы

можно определить угловое ускорение треугольника (или точки B при вращении вокруг точки A):

Направление углового ускорения определяется вектором a^вр_BA. В данном примере видно, что точка B, вращаясь вокруг A, ускоряется против хода часовой стрелки.

Рисунок 26

2) Ускорение точки D определяется по формуле (см. рисунок 26)

В этой формуле известны слагаемые правой части:

Этот вектор направлен от точки D к выбранному полюсу A.

Вектор a^вр_DA перпендикулярен отрезку AD и направлен соответственно угловому ускорению ε треугольника ABD. Так как и величина и направление ускорения точки D неизвестны, то векторное равенство (5) проецируем на выбранные оси координат (OX и OY).

Получим: