Пример решения задачи по определению величины горизонтального движения корпуса двигателя заданной массы, установленного без крепления на горизонтальном гладком фундаменте, от сил, создаваемых кривошипом, вращающимся с постоянной угловой скоростью.
Задача
Горизонтальный поршневой двигатель установлен без крепления на горизонтальном гладком фундаменте (рисунок 1.3). Кривошип OA длиной r вращается с постоянной угловой скоростью ω.
Принимая длину шатуна равной длине кривошипа, и считая, что массы движущихся частей приведены к двум массам m1 и m2, сосредоточенным в пальце кривошипа и в центре поршня, определить горизонтальное движение корпуса двигателя, если его масса равна m3. В начальный момент поршень занимал крайнее левое положение, а система находилась в покое.
Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >
Решение
Рассмотрим двигатель как систему, состоящую из трех масс m1, m2, m3. На нее действуют внешние силы: P1, P2, P3 — силы тяжести; N — нормальная реакция гладкого фундамента.
Поскольку требуется найти горизонтальное движение корпуса, воспользуемся первым уравнением (1.10):
Пусть x1, x2, x3 – абсциссы масс системы в текущий момент t. Тогда абсцисса центра масс системы будет
Выразив все абсциссы через искомую x3, имеем
где l=const – разность абсцисс точки O и массы m3.
Подставим эти абсциссы в формулу (1.11), получим
Дифференцируя xc дважды по времени и подставляя в (1.10’), будем иметь дифференциальное уравнение движения центра масс корпуса двигателя:
В данной задаче Rxe=0, т.к. при выбранных осях все внешние силы параллельны оси O1y. Уравнение (13) примет вид
Интегрируя, найдем
Учитывая начальные условия движения корпуса
получим
где x30 — начальная абсцисса корпуса двигателя.
Итак,
Это и есть уравнение движения корпуса двигателя. Таким образом, корпус двигателя будет совершать гармонические колебания с амплитудой
и круговой частотой ω.