Пример решения задачи по определению угловой скорости колеса заданного радиуса и приводимого в движение приложенным моментом из состояния покоя, которое посредством невесомой нити двигает груз по шероховатой поверхности.

Задача

Однородное колесо 1 массой M и радиусом r₁ приводится в движении из состояния покоя приложенным моментом m_вр. Груз 2 массой m посредством невесомой нити, намотанной на колесо барабана, движется по шероховатой поверхности, коэффициент трения скольжения которой равен f (рисунок 3.6).

Определить угловую скорость колеса в 4 случаях:

• а) m_вр=A;
• б) m_вр=a∙t, где a – постоянная, t – время;
• в) m_вр=b∙φ, где b – постоянная, φ – угол поворота барабана;
• г)
  где c – постоянная,
  – угловая скорость колеса.

Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >

Пример решения

Механическая система состоит из двух тел: барабана 1, вращающегося вокруг оси x, и груза 2, движущегося поступательно.

Выделим все силы, действующие на систему:
P₁ = M∙g – сила тяжести барабана;
R₁ и R₂ – составляющие реакции колеса по осям Oz и Oy;
m_вр – вращающий момент;
P₂ = M∙g – сила тяжести груза;
N – нормальная реакция плоскости;
F_тр = f∙N = f∙m∙g – сила трения при скольжении груза о плоскость.

Согласно теореме об изменении момента количества движения механической системы относительно оси

где

K_x – кинетический момент системы.

Кинетический момент системы определяется по формуле

где k_б – кинетический момент барабана;
k_гр – кинетический момент груза;

Тогда

Итак,

Окончательно получим

Решим последнее соотношение относительно угловой скорости колеса в четырех случаях, указанных в условии задачи.

Случай (а) m_вр=A (A = const).

Для удобства в выражении (3.15) введем для момента инерции системы обозначение

Тогда

Разделив переменные и проинтегрировав обе части уравнения, получим

Окончательно будем иметь

Случай (б) m_вр = a∙t.

Разделив переменные и проинтегрировав обе части этого уравнения

получим

Случай (в) m_вр = b∙φ.

Так как правая часть зависит от угла поворота φ и прямого разделения переменных совершить невозможно, произведем замену переменной t:

тогда

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение

откуда

Случай (г)

Разделив переменные, проинтегрируем и определим угловую скорость

Другие примеры решения задач >