Расчет угловой скорости барабана

Задача

Однородный барабан 1 массой M и радиусом r₁ приводится в движении из состояния покоя приложенным моментом m_вр. Груз 2 массой m посредством невесомой нити, намотанной на барабан, движется по шероховатой поверхности, коэффициент трения скольжения которой равен f (рисунок 3.6).

Определение угловой скорости барабана

Рисунок 3.6

Определить угловую скорость барабана в 4 случаях:

а) m_вр=A;
б) m_вр=a∙t, где a – постоянная, t – время;
в) m_вр=b∙φ, где b – постоянная, φ – угол поворота барабана;
г) m_вр=c∙φ, где c – постоянная, φ – угловая скорость барабана.

Пример решения

Механическая система состоит из двух тел: барабана 1, вращающегося вокруг оси x, и груза 2, движущегося поступательно.

Выделим все силы, действующие на систему:
P₁ = M∙g – сила тяжести барабана;
R₁ и R₂ – составляющие реакции барабана по осям Oz и Oy;
m_вр – вращающий момент;
P₂ = M∙g – сила тяжести груза;
N – нормальная реакция плоскости;
F_тр = f∙N = f∙m∙g – сила трения при скольжении груза о плоскость.

Согласно теореме об изменении момента количества движения механической системы относительно оси

dK_x/dt = ∑M_x(F_j^e),

где

dK_x/dt = ∑M_x(F_j^e) = m_вр — f∙m∙g∙r₁;

K_x – кинетический момент системы.

Кинетический момент системы определяется по формуле

K_x = k_б + k_гр,

где k_б – кинетический момент барабана;
k_гр – кинетический момент груза;
k_б = J_x∙ω = M∙r₁²∙ω/2;
k_гр = m∙V₂∙h = m∙ω∙r₁².

Тогда

K_x = k_б + k_гр =
= M∙r₁²∙ω/2 + m∙ω∙r₁² =
= ω∙r₁²∙(M + 2∙m)/2.

Окончательно получим

r₁²(M + 2m)(dω/dt)/2 =
= m_вр — f∙m∙g∙r₁. (3.15)

Решим последнее соотношение относительно угловой скорости барабана в четырех случаях, указанных в условии задачи.

Случай (а) m_вр=A (A = const).

Для удобства в выражении (3.15) введем для момента инерции системы обозначение

J_c = (M + 2m)r₁²/2.

Тогда

J_c∙dω/dt = A — f∙m∙g∙r₁.

Разделив переменные и проинтегрировав обе части уравнения, получим

Окончательно будем иметь

ω = 2(A — f∙m∙g∙r₁)∙t/((M + 2m)∙r₁²).

Случай (б) m_вр = a∙t.

J_c∙dω/dt = a∙t — m∙g∙f∙r₁.

Разделив переменные и проинтегрировав обе части этого уравнения

получим

ω = a∙t²-2m∙g∙f∙r₁∙t/((M+2m)∙r₁²).

Случай (в) m_вр = b∙φ.

J_c∙dω/dt = b∙φ — m∙g∙f∙r₁.

Так как правая часть зависит от угла поворота φ и прямого разделения переменных совершить невозможно, произведем замену переменной t:

(dω/dt)∙(dφ/dφ) = ω∙dω/dφ,

тогда

J_c∙ω∙dω/dφ = b∙φ — m∙g∙f∙r₁.

Разделим переменные и проинтегрируем полученное уравнение

откуда

Случай (г)

Разделив переменные, проинтегрируем и определим угловую скорость

Другие примеры решения задач >>

Лекции и решения задач по теормеху, сопротивлению материалов, прикладной механике, ТММ и ДМ