Определение закона относительного движения

Задача

Тело D вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω. По цилиндрическому каналу движется шарик M (рисунок 8.1).

Определить закон относительного движения шарика x = x(t). Найти также координату x и давление шарика на стенку канала в момент времени t = τ, если α = 45°, ω = 10 с^-1; m = 0,01 кг; τ = 0,2 c; x₀ = 0; V_0 отн= 0; r = 0,2 м.

Определить закон относительного движения шарика

Рисунок 8.1

Решение

Свяжем подвижную систему отсчета Oxyz с вращающимся каналом, совместив ось x с траекторией относительного движения шарика M.

Вращение этой системы относительно оси АВ является переносным движением для шарика M. Движение шарика вдоль канала будет относительным.

К шарику приложены: вес G и нормальная реакция стенки канала, которую разложим на две составляющие N₁ и N₂. Присоединим к силам, действующим на шарик, кориолисову силу инерции Ф_кор и переносную силу инерции Фⁿ_пер.

Поскольку вращение происходит с постоянной угловой скоростью, переносное ускорение точки M имеет только нормальную составляющую. Соответственно переносная сила инерции будет иметь одну составляющую, направленную от оси AB.

В литературе ее называют центробежной силой инерции. Направление ускорения Кориолиса найдем по правилу Жуковского (рисунок 8.1), полагая, что шарик движется от точки O.

Модули сил инерции определяются по формулам

Фⁿ_пер= m∙aⁿ_пер= m∙ω²(r + x∙sinα),
Ф_кор= m∙a_кор= 2m∙ω∙V_отн∙sinα,

где V_отн= dx/dt.

Основное уравнение относительного движения, в данном случае, имеет вид

вид основного уравнения относительного движения

Проецируя это уравнение на подвижные оси координат, получим

m∙d²x/dt² = -G∙cosα + Фⁿ_пер∙sinα,
0 = N₂ — Ф_кор (8.1)
0 = N₁ -G∙sinα — Фⁿ_пер∙cosα.

Подставляя значение Фⁿ_пер в первое уравнение системы (8.1), получим

m∙d²x/dt² =
= -G∙cosα + m∙ω²(r + x∙sinα)∙sinα.

Последнее уравнение представим в виде

d²x/dt²— x∙ω²∙sin²α =
= ω²∙r∙sinα — g∙cosα (8.2)

Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение полученного уравнения имеет вид

x = x* + x**,

где x* – общее решение однородного уравнения
d²x/dt²— x∙ω²∙sin²α = 0;
x** – частное решение уравнения (8.2).

Составим характеристическое уравнение и найдем его корни

u² — ω²sin²α = 0,
u_1,2 = ± ω sinα = ±10∙0,71 = ±7,1.

Таким образом, общее решение однородного уравнения

x* = C₁∙e^7,1t + C₂∙e^-7,1t.

Частное решение уравнения (8.2) находим в виде

x** = B.

Подставляя в (8.2), получаем

x** = B = (g∙cosα -ω²∙r∙sinα)/(ω²∙sin²α)=
=(9,8∙0,71 — 100∙0,2∙0,71)/(100∙0,5) = -0,145 м.

Общее решение дифференциального уравнения (8.2) получает вид

x = C₁∙e^7,1t + C₂∙e^-7,1t-0,145 м.

Скорость этого движения

V_отн= 7,1C₁∙e^7,1t— 7,1C₂∙e^-7,1t.

Постоянные C₁ и C₂ определяем из начальных условий:

при t = 0

x₀ = 0, V_отн 0= 0.

Тогда при t = 0 получим

0 = С₁ + С₂ — 0,145,
0 = С₁ — С₂,

отсюда C₁ = C₂ =0,0725 м.

Уравнение относительного движения принимает вид

x =0,0725e^7,1t+ 0,0725e^-7,1t-0,145. (8.3)

Скорость относительного движения

V_отн = 0,51e^7,1t— 0,51e^-7,1t м/с. (8.4)

Из второго и третьего уравнений системы (8.1) определим реакцию стенок канала в момент времени t = 0,2 с

N₁=Фⁿ_пер cosα — G sinα,
N₂ = Ф_кор.

Из этих уравнений найдем

N₁ = m∙ω²(r + x∙sinα)∙cosα — G∙sinα,
N₂ = 2m∙ω∙V_отн∙sinα.

Для определения числовых значений реакции необходимо найти значения координаты x и относительной скорости при t = 0,2 с.

Подставляя t = 0,2 с в (8.3) и (8.4), получим

x=0,0725e^7,1∙0,2+ 0,0725e^-7,1∙0,2-0,145 = 0,172 м,
V_отн = 0,51e ^7,1∙0,2— 0,51e^-7,1∙0,2=0,198 м/с.

Следовательно, составляющие реакции N₁ и N₂ будут равны

N₁=0,01∙100(0,2+0,172∙0,71)∙0,71-0,01∙9,8∙0,71=0,16 Н,
N₂=2∙0,01∙10∙0,198∙0,71=0,322 Н.

Реакция стенки канала

Другие примеры решения задач >>

Теория и решение задач

Задача

Решение

Техническая механика, теормех, сопромат, ТММ, детали машин и строймех.