Задача
Тело D вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью ω. По цилиндрическому каналу движется шарик M (рисунок 8.1).
Определить закон относительного движения шарика x = x(t). Найти также координату x и давление шарика на стенку канала в момент времени t = τ, если α = 45°, ω = 10 с-1; m = 0,01 кг; τ = 0,2 c; x0 = 0; V0 отн= 0; r = 0,2 м.
Решение
Свяжем подвижную систему отсчета Oxyz с вращающимся каналом, совместив ось x с траекторией относительного движения шарика M.
Вращение этой системы относительно оси АВ является переносным движением для шарика M. Движение шарика вдоль канала будет относительным.
К шарику приложены: вес G и нормальная реакция стенки канала, которую разложим на две составляющие N1 и N2. Присоединим к силам, действующим на шарик, кориолисову силу инерции Фкор и переносную силу инерции Фnпер.
Поскольку вращение происходит с постоянной угловой скоростью, переносное ускорение точки M имеет только нормальную составляющую. Соответственно переносная сила инерции будет иметь одну составляющую, направленную от оси AB.
В литературе ее называют центробежной силой инерции. Направление ускорения Кориолиса найдем по правилу Жуковского (рисунок 8.1), полагая, что шарик движется от точки O.
Модули сил инерции определяются по формулам
Фкор= m∙aкор= 2m∙ω∙Vотн∙sinα,
Основное уравнение относительного движения, в данном случае, имеет вид
Проецируя это уравнение на подвижные оси координат, получим
0 = N2 — Фкор (8.1)
0 = N1 -G∙sinα — Фnпер∙cosα.
Подставляя значение Фnпер в первое уравнение системы (8.1), получим
= -G∙cosα + m∙ω2(r + x∙sinα)∙sinα.
Последнее уравнение представим в виде
= ω2∙r∙sinα — g∙cosα (8.2)
Это линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. Общее решение полученного уравнения имеет вид
где x* – общее решение однородного уравнения
d2x/dt2— x∙ω2∙sin2α = 0;
x** – частное решение уравнения (8.2).
Составим характеристическое уравнение и найдем его корни
u1,2 = ± ω sinα = ±10∙0,71 = ±7,1.
Таким образом, общее решение однородного уравнения
Частное решение уравнения (8.2) находим в виде
Подставляя в (8.2), получаем
=(9,8∙0,71 — 100∙0,2∙0,71)/(100∙0,5) = -0,145 м.
Общее решение дифференциального уравнения (8.2) получает вид
Постоянные C1 и C2 определяем из начальных условий:
Тогда при t = 0 получим
0 = С1 — С2,
отсюда C1 = C2 =0,0725 м.
Уравнение относительного движения принимает вид
Скорость относительного движения
Из второго и третьего уравнений системы (8.1) определим реакцию стенок канала в момент времени t = 0,2 с
N2 = Фкор.
Из этих уравнений найдем
N2 = 2m∙ω∙Vотн∙sinα.
Для определения числовых значений реакции необходимо найти значения координаты x и относительной скорости при t = 0,2 с.
Подставляя t = 0,2 с в (8.3) и (8.4), получим
Vотн = 0,51e 7,1∙0,2— 0,51e-7,1∙0,2=0,198 м/с.
Следовательно, составляющие реакции N1 и N2 будут равны
N2=2∙0,01∙10∙0,198∙0,71=0,322 Н.
Реакция стенки канала
