Пример решения задачи на построение эпюры внутренних изгибающих моментов Mx для стальной консольной балки нагруженной сосредоточенной силой F, моментом m и равномерно распределенной нагрузкой q.
Задача
Рассмотрим порядок построения эпюры изгибающих моментов Mx для консольной балки закрепленной в жесткой заделке.
Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >
Пример решения
Ранее для данной балки уже были рассмотрены примеры определения опорных реакций и построения эпюры поперечных сил Qy.
Покажем найденные опорные реакции и выбранную систему координат.
Для построения эпюры изгибающих моментов Mx запишем их выражение по каждому силовому участку и рассчитаем их значения на границах участков. При этом воспользуемся методом сечений.
Наш видеоурок построения эпюр внутренних силовых факторов для балки:
Нумерацию силовых участков балки, сечения и другие вспомогательные обозначения примем из расчета эпюры Qy.
Рассмотрим I силовой участок:
Выбрав левую часть балки, отбросим ненадолго правую, и запишем имеющиеся данные.
I с.у. (AB) 0 ≤ z1≤ 0,5м
Внутренний изгибающий момент в указанном сечении равен сумме всех внешних моментов, воздействующих на рассматриваемую часть балки.
Здесь на момент в рассматриваемом сечении влияют только опорные реакции M и R, то есть сумма моментов состоит из двух слагаемых.
По правилу знаков момент, который стремится сжать верхние слои балки, принимается положительным, следовательно:
MxI=Σmi=M+R∙z1=30+60z1
В выражении переменная z1 в первой степени, поэтому эпюра Mx на первом участке будет иметь вид прямой линии.
Рассчитаем значения MxI на границах участка, т.е. при z1=0 и при z1=0,5м
MxI (z1=0)=30кНм
MxI (z1=0,5м)=60кНм
Переходим на второй силовой участок:
Рассекаем балку в произвольном месте участка и рассматриваем её правую часть.
Эта часть балки изгибается силой F и распределенной нагрузкой q.
II с.у. (BC) 0 ≤ z2 ≤ 1м
MxII=Σmi=-q∙z2(z2/2)+F∙z2= -50∙z22+40∙z2
Получено выражение с переменной z2 во второй степени, значит, эпюра Mx на втором участке будет иметь вид параболы.
Видео про построение эпюр:
Для построения параболы требуется как минимум три точки. Этими точками будут значения Mx на границах и в середине II силового участка, то есть при z2=0, z2=1м и z2=0,5м.
MxII(z2=0)=0
MxII(z2=0,5м)=7,5кНм
MxII(z2=1м)= -10кНм
По полученным данным строим эпюру изгибающих моментов Mx (готовую эпюру Qy перенесем из ранее рассмотренной задачи)
I с.у. (AB) 0 ≤ z1 ≤ 0,5м.
MxI=30+60z1 (прямая)
MxI(z1=0)=30кНм
MxI(z1=0,5м)=60кНм
II с.у. (BC) 0 ≤ z2 ≤ 1м
MxII= -50z22+40z2 (парабола)
MxII(z2=0)=0
MxII(z2=0,5м)=7,5кНм
MxII(z2=1м)= -10кНм
Прежде чем соединять отмеченные точки эпюры параболой, обратите внимание на эпюру поперечных сил Qy.
Qy — первая производная от Mx. Поэтому в том месте, где Qy пересекает базовую линию (т.е. Qy=0) на эпюре Mx будет экстремум.
Видео про расчет экстремума эпюры:
Рассчитаем значение экстремума эпюры Mx на II участке балки.
Для этого:
- Выражение QyII приравняем к нулю
QyII=100z2-40=0 - Выразим из него z2
z2=40/100=0,4м - Подставим z2 в выражение для MxII
MxIIэкстр(z2=0,4м)= -50∙0,42+40∙0,4=8кНм
Отметив эту точку в области эпюры где Qy=0 соединим ее с тремя другими параболой.
Эпюра изгибающих моментов построена. Проверка эпюры Mx.
