Задача
Механическая система состоит из призмы 1 массой M1, тел 2 и 3 массами M2 и M3 соответственно, соединенными невесомыми, нерастяжимыми нитями, переброшенными через невесомые блоки 4 и 5 (рисунок 1.2, а). На систему действует постоянный момент, приложенный к блоку 4.
Определить горизонтальное перемещение Δ призмы, скользящей по гладкой горизонтальной поверхности при заданном перемещении S груза 2 по поверхности призмы. В начальный момент система находилась в покое.
Пример решения
Примем начало координат в левом конце призмы 1, тогда координаты, определяющие положение тел 1, 2, 3: x1, x2, x3 соответственно.
Внешние силы, действующие на механическую систему: P1, P2, P3, N, M0, где P1, P2, P3 – веса соответствующих тел; N – реакция гладкой поверхности.
Для решения задачи воспользуемся теоремой о движении центра масс
а в проекции на горизонтальную ось:
в данной задаче Rxe=0.
Так как в начальный момент система покоилась, то
следовательно, xc=const.
Вычислим абсциссу центра масс системы в двух случаях:
- для начального положения груза 2 (рисунок 1.2, а);
- для того положения системы, когда груз переместится по наклонной плоскости на расстояние, равное S (рисунок 1.2, б), а призма предположительно переместится влево по горизонтали.
Рисунок 1.2
Абсцисса центра масс системы до перемещения груза 2 (рисунок 1.2, б)
Обозначим перемещение призмы Δ. После того как груз 2 переместился на расстояние S, призма со всеми телами системы, находящимися на ее поверхности, переместится влево на расстояние Δ, координаты центров тяжести тел по оси x (в системе xOy) будут следующими:
- для призмы 1: x1‘=Δ;
- для груза 2: x2‘=x2— Δ + Scos 30°
за счет переносного движения вместе с подвижной системой, связанной с призмой, абсцисса x2 уменьшилась на величину Δ, за счет переносного движения по поверхности призмы абсцисса увеличилась на расстояние Scos30° — рисунок 1.3.
Груз 3 поднимется по вертикали вверх за счет того, что левая нить уменьшится на величину S. Абсцисса центра тяжести груза 3 за счет его переносного движения вместе с призмой уменьшится на Δ и станет равной для груза 3: x3‘=x3-Δ.
Абсцисса центра масс системы после перемещения груза 2 по поверхности призмы
+M3(x3-Δ))/(M1+M2+M3)
Приравнивая значения этих абсцисс, т.к.
получим
Упрощая, запишем
Знак «+» в результате говорит о правильности предположения, что призма сместится влево. Таким образом, призма переместится влево на расстояние
