Закон Гука

Законом Гука называют базовую зависимость в механике, устанавливающую взаимосвязь между усилиями и соответствующими им упругими деформациями.

Закон был открыт в 1660 году английским ученым Робертом Гуком.




Проведя серию экспериментов с растяжением и сжатием пружин, Гук заметил, что изменение их длины прямо пропорционально растягивающей (сжимающей) их силе.
Растяжение пружин
Свои наблюдения он оформил в виде закона: «Какова сила, таково и удлинение».
Удлинения пропорциональны силе
Современная формулировка закона существенно отличается от оригинала и зависит от дисциплины, в которой рассматривается зависимость деформаций от усилий.

Подробнее про закон Гука смотрите в нашем видео:

Закон Гука в физике

Силы упругого сопротивления
В современных учебниках физики Закон Гука имеет вид:
Закон Гука в физике
и формулируется следующим образом:
«При малых деформациях сила упругости пропорциональна деформации тела и направлена в сторону, противоположную направлению перемещения его частиц»

Коэффициент k характеризует жесткость образца и зависит от его размеров и материала.
Растяжение стержня
Например, для стержней, работающих на растяжение или сжатие, он может быть рассчитан по формуле:
Коэффициент закона Гука
где:
E – Модуль упругости I рода (модуль Юнга);
A – Площадь поперечного сечения бруса;
l – Длина стержня.

Знак минус означает, что силы упругого сопротивления направлены обратно растягивающей силе.

Закон Гука в сопромате

В технической механике и сопротивлении материалов в частности закон Гука гласит: «До определенного момента, называемого пределом пропорциональности, упругие деформации прямо пропорциональны напряжениям».
Закон Гука в сопромате
Здесь:
σ — Нормальные напряжения в сечении;
ε — Относительные продольные деформации.

Рассмотрим преобразование физической формы закона к его механическому виду.
Закон Гука для абсолютных деформаций
Подставим вместо коэффициента k его выражение
Коэффициент k закона Гука
Закон Гука подробно
Преобразование закона Гука
Отношение продольной силы F к площади поперечного сечения A в левой части дает нормальные напряжения в сечении
Закон Гука через нормальные напряжения
Отношение абсолютных деформаций к начальной длине образца – это относительное изменение его длины
Стандартный закон Гука

В таком виде закон Гука используется в сопромате и технической механике.

Закон выполняется только для напряжений не превышающих предела пропорциональности.
Область действия закона Гука

При растяжении и сжатии

При растяжении и сжатии закон Гука можно получить, вернув в его канонический вид геометрические параметры стержня (длину и площадь поперечного сечения), и записав получившееся выражение относительно линейной деформации:
Закон Гука при растяжении-сжатии
Здесь
Δl- Абсолютная деформация стержня;
F — Продольная сила;
l — Длина стержня до нагружения;
E – Модуль продольной упругости материала;
A – Площадь поперечного сечения стержня.

При изгибе

При изгибе закон устанавливает зависимость между кривизной продольной оси и величиной изгибающего момента в соответствующем сечении балки.
Закон Гука при изгибе

где:
ρ — Радиус кривизны продольной оси балки в данном сечении;
M — Величина соответствующего внутреннего изгибающего момента;
E – Модуль Юнга;
IxОсевой момент инерции поперечного сечения балки.

Обобщенный закон Гука

Общий случай нагружения
Для общего случая нагружения изотропных материалов, когда напряженное состояние отличается от линейного (одноосного) применяется закон Гука в обобщённом виде.
Обобщенный закон Гука
ε — Относительные деформации вдоль соответствующих осей;
ν — Коэффициент Пуассона;
σ — Нормальные напряжения по соответствующим площадкам элемента.

Потому что деформации в поперечных направлениях тоже влияют на изменение продольных размеров.

Для чистого сдвига
Закон Гука при чистом сдвиге
γ — Угловое перемещение соответствующей площадки элемента;
τ — Касательные напряжения;
G — Модуль упругости II рода (модуль сдвига).

Испытание на растяжение >>
Диаграмма напряжений >>

Теория и решение задач по теоретической, технической и строительной механике, сопротивлению материалов, ТММ и деталям машин


Здравствуйте

У нас вы можете
получить помощь в учёбе
по всем предметам

Напишем учебные работы
Решим любые задачи
Поможем на экзамене