Теорема Вариньона в теоретической механике

Теорема Вариньона гласит: момент равнодействующей системы сил относительно какого-либо центра равен геометрической сумме моментов составляющих систему сил относительно того же центра.

В некоторых случаях при определении момента силы возникают трудности в расчете плеча силы.

Теорема Вариньона значительно упрощает решение этого вопроса.
Разложение силы F на составляющие проекции для определения момента силы

Рисунок 1

Например, момент силы F относительно точки O можно определить как алгебраическую сумму моментов сил Fx и Fy (на которые можно разложить силу F) относительно той же точки O (рисунок 1). То есть

Формула момента силы по теореме Вариньона

где Fx, Fy, x и y – проекции на оси координат силы F и радиус-вектора r.

Применение теоремы Вариньона при решении задач

Рассмотрим способ использования теоремы Вариньона на примере выполнения РГР 1 — равновесие тела под действием произвольной плоской системы сил.

Задача

Жесткая рама закреплена в точке A шарнирно, а в точке B прикреплена к невесомому стержню с шарнирами на концах.
Жесткая рама закреплена шарнирно и нагружена моментом и силой, расположенной под углом

На раму действует пара сил с моментом М=20 кНм и сила F=10 кН приложенная под углом 60° от вертикали, направления и точки приложения которых показаны на расчетной схеме.

Требуется определить реакции связей в точках A и B, вызываемые действующими нагрузками. При окончательных расчетах принять a=1 м.

Решение

Уравнение моментов будет более простым (содержать меньше неизвестных), если записать моментов относительно точки, где пересекаются линии действия двух неизвестных реакций связей.

При вычислении момента силы F часто удобно разложить ее на составляющие Fx и Fy для которых плечи сил легко определяются, и воспользоваться теоремой Вариньона, тогда МOF = МOFx+ МOFy.

Рассмотрим равновесие жесткой рамы.

Проведем координатные оси x-y и покажем действующие на раму усилия: реакции связей RAx и RAy в точке A (неподвижной шарнирной опоре) и реакцию стержня RB в точке В.
Разложение сил и реакций рамы на составляющие проекции

При вычислении моментов силы F и реакции RB воспользуемся теоремой Вариньона, т.е. раскладываем силы на составляющие (проекции сил на оси координат).
Выражения для расчета проекций сил и реакций рамы на на оси координат

Для полученной плоской системы сил можно составить три уравнения равновесия:
Уравнения равновесия рамы - суммы проекций сил и сумма моментов

Из уравнения (3) получаем величину RB:
Вычисление реакции рамы в точке B из уравнения суммы моментов

Из уравнения (1) находим RAx:
Вычисление горизонтальной реакции рамы из уравнения суммы сил

Из уравнения (2) определяем RAy:
Вычисление вертикальной реакции рамы из уравнения суммы сил

Полная реакция шарнирно-неподвижной опоры определяется по формуле:
Вычисление полной величины реакции рамы по её проекциям

Ответ: RA=7,3 кН, RB=3,33 кН


Далее:

Сохранить или поделиться
Вы находитесь здесь:
Техническая механика Теоретическая механика Лекции по теоретической механике Теорема Вариньона в теоретической механике

У нас можно заказать решение
и помощь по разным предметам

Онлайн помощь с решением задач по механике