Дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела

Для изучения вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси воспользуемся теоремой об изменении момента количества движения (кинетического момента) механической системы относительно оси (3.10):

dKz/dt = Mze.    (3.11)

Пусть на твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения z (рисунок 3.4), действует система заданных внешних активных сил (F1, F2, F3,…, Fn), определяющих угловую скорость ω и угловое ускорение ε этого тела в его вращательном движении вокруг оси z. Одновременно на это же тело действуют силы реакции RA подпятника и RB радиального подшипника.




Определяем правую часть уравнения (3.11):

Mze=∑Mz(Fje)+Mz(RA)+Mz(RB).

Поскольку

Mz(RA) = Mz(RB)=0,

то

Mвращ = Mze= ∑Mz(Fje).

Рисунок 3.4

Найдем момент количества движения (кинетический момент) Kz вращающегося твердого тела. Для этого выделим точку Mj тела на расстоянии rj от оси вращения и имеющую скорость Vj=ω∙rj. Очевидно, что

Kzj=mj ∙Vj ∙ rj=mj ∙ ω ∙ rj2

Тогда момент количества движения (кинетический момент) всего вращающегося тела будет:

Kz = ∑Kzj = ∑mj ∙ ω ∙ rj2,

где ∑mj ∙ rj2= Jz.

Следовательно, окончательно будем иметь

Kz = Jz ∙ ω.    (3.12)

Подставляя в уравнение (3.11) выражение (3.12), получаем

Jz ∙ dω/dt = Mвращ,
или
Jz ∙ d2φ/dt2 = Mвращ.    (3.13)

Уравнение (3.13) представляет собой дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси.

Поскольку dω/dt = ε, имеем

ε = Mвращ/Jz.    (3.14)

Полученное выражение (3.14) показывает, что осевой момент инерции Jz тела следует рассматривать как меру инертности твердого тела при его вращательном движении вокруг неподвижной оси.

Примеры решения задач >>






Теория и решение задач по теормеху, сопромату, технической и прикладной механике, ТММ и ДетМаш