Перемещения при изгибе

Как отмечалось ранее, деформацией при изгибе является искривление продольной оси балки.

Вследствие этого искривления, точки и поперечные сечения балки получают линейные и угловые перемещения.

Рассмотрим на примере простой консольной балки.




Линейные перемещения

Отметим в произвольном месте балки точку K и приложим к свободному концу консоли сосредоточенную силу F.

Под действием этой силы балка изогнется, и точка K переместится в новое положение K’.

Очевидно, что перемещение точки K произойдет, не строго вертикально, поэтому разложим его на две составляющие:
вертикальное перемещение по оси y, называемое прогибом балки в т. K (yK)

и горизонтальное (осевое) смещение точки вдоль горизонтальной оси — zK

Практические расчеты показывают, что осевые смещения как правило, несоизмеримо меньше вертикальных перемещений (например, в данном случае zK<< yK), поэтому ими пренебрегают, ограничиваясь вычислением прогибов.

Линейные перемещения (прогибы балки) измеряются в метрах или кратных единицах измерения (миллиметрах и сантиметрах).

Прогибы, при которых сечение в результате деформации балки перемещается вверх принимаются положительными.

Именно по величине прогибов определяется жесткость балки.

Угловые перемещения

Кроме линейных, сечения балки при изгибе получают и угловые перемещения.
Проведем касательные к продольной оси балки в точках K и K’.

В первом случае линия касательной совпадает с прямой осью балки, во втором – располагается под углом θ.
Угол между касательными очевидно равен углу между нормалями к оси балки в этих точках.

Этот угол θK называется углом наклона сечения K в результате деформации балки.

Вычисляется в радианах, с последующим переводом в градусы.

Между линейными и угловыми перемещениями при изгибе существует дифференциальная зависимость.

Например, в сечениях, углы наклона которых равны нулю следует ожидать экстремума изогнутой линии балки на данном участке.

Методы расчета перемещений

Существует несколько способов расчета линейных y и угловых θ перемещений при изгибе:

Метод начальных параметров (МНП)

Перемещения рассчитываются по уравнениям МНП

Считается относительно простым методом расчета перемещений в прямых балках с постоянной жесткостью сечения.
Данный способ не применим для расчета прогибов и углов наклона в балках переменного сечения, с изогнутой или ломаной осью и в рамах.
Подробнее >>



Интеграл Мора

Интеграл Мора относится к энергетическим методам расчета перемещений.

В отличие от МНП позволяет определять линейные и угловые перемещения для любых систем.
Подробнее >>

Способ Верещагина

Данный способ расчета перемещений представляет собой графическую интерпретацию интеграла Мора, особенностью которой является «перемножение эпюр» грузовой и единичных схем.

Подробнее >>

Метод интегрирования дифференциального уравнения упругой линии балки

Непосредственное интегрирование дифференциального уравнения упругой линии

является одним из наиболее универсальных способов расчета перемещений в балках. Может применяться без ограничений к балкам любой формы.

По результатам расчета перемещений сечений балки строится линия изогнутой оси балки (либо эпюра прогибов), с указанием числовых значений прогибов и углов наклона в характерных сечениях.

Эти вычисления и построения необходимы для проверки балок на жесткость.

Примеры решения задач >
Лекции по сопромату >






Теория и решение задач по теормеху, сопромату, технической и прикладной механике, ТММ и ДетМаш