Центр тяжести составного сечения

Задача
Для симметричного составного сечения, состоящего из прокатных профилей (швеллер и равнобокие уголки) и прямоугольников

требуется:

  1. определить положение центра тяжести;
  2. вычислить значения главных центральных моментов инерции и главных радиусов инерции;
  3. построить эллипс инерции.

Дано:

  • швеллер N16а;
  • уголки равнобокие 70×70×5 (2 шт.);
  • размеры листов — 160×10 мм (2 шт.).



Решение
Находим геометрические характеристики фигур, составляющих заданное сечение:
уголки равнобокие 70×70×5 (ГОСТ 8509-72)

швеллер N16а (ГОСТ 8240-72)

— прямоугольник 160×10 мм

Вычерчиваем составное сечение в масштабе 1:2, отмечаем центры тяжести отдельных фигур Ci и проводим их центральные оси Xi, Yi.

Положение центра тяжести и главных осей

Одной из главных центральных осей является ось симметрии YC.
Выбрав вспомогательную ось Xвсп и определив по чертежу координаты центров тяжести отдельных фигур yi относительно этой оси, находим положение главной центральной оси XC по формуле:

Расчет главных центральных моментов инерции

При этом пользуемся зависимостями между моментами инерции относительно параллельных осей, учитывая при этом симметричность отдельных частей сечения:

Здесь: IxCi, IyCi — моменты инерции отдельных фигур относительно собственных центральных осей;
Ai — площади самих фигур;
aCi, bCiкоординаты центров тяжести фигур относительно главных центральных осей.

Учитывая вышесказанное, а также симметричность отдельных частей сечения, находим главные моменты инерции:

При большом числе элементов, составляющих сложное сечение, целесообразно для нахождения yC, IxC, IyC использовать табличную форму записи.

Расчет радиусов инерции

Главные радиусы инерции:

По этим данным строим эллипс инерции, накладывая его на чертеж сечения.

Эллипс инерции позволяет оценить правильность вычислений, его габариты обычно составляют 0,55…0,70 от габаритов сечения.

Другие примеры решения задач >
Лекции по сопромату >






Теория и решение задач по теормеху, сопромату, технической и прикладной механике, ТММ и ДетМаш