Полный расчет балки на прочность и жесткость

Задача

Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость статически определимой двутавровой двухопорной балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [σ]=160 МПа и [τ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]=l/400

Рис. 1

Решение

Подготовка расчетной схемы к решению задачи

Определение опорных реакций

Подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь

А также в нашем видеоуроке:

Из Σm_в=0

Из Σm_А=0

Балка с эпюрами поперечных сил Q и изгибающих моментов M

Построение эпюр Q и М

Примеры построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балки

Наше видео про расчет значений Q и M для построения эпюр

В пролете балки 0 ≤ z₂ ≤ l

Q_II= — R_B+ qz₂= -52+30∙z₂
Q_II(z=0)= -52 кН
Q_II(z=l)= -52+30∙4=68 кН

M_II=R_B∙z₂-qz₂²/2=52z₂-30∙z₂²/2
M_{II (z=0)}= 0
M_{II (z=l)}= -32 кНм

На консоли l ≤ z₁≤ (l+a)

Q_I= — R_B+ ql — R_A=-52+30∙4-108=-40 кН

M_I=R_B z₁-ql(z₁-l/2)+R_A(z₁-l)=52z₁-30∙4(z₁-4/2)+108(z₁-4)
M_{I (z=l)}= -32 кНм
M_{I (z=l+a)}= 0

По этим данным построены эпюры Q и М.

Видео о том, как строить эпюры

Подбор сечения двутавровой балки

Так как М_mах = 45 кНм, то

W_x≥M_max / [σ] = 45∙10³ / 160∙10⁶= 0,281 м³= 281 см³.

Видео про подбор сечения балки

По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого W_x = 289 см³, I_x= 3460 см⁴, S_max = 163 см³, h = 24 см, b_п = 11,5 см, t = 0,95 см, d = b_c = 0,56 см, h₀ = h-2t = 22,1 см.

Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.

σ_max = M_max / W_x = 45∙10³ / 289∙10^-6= 156∙10⁶ Па = 156 МПа

Проверка сечения балки по касательным напряжениям

Так как Q_max = 68 кН, то

Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:

Видео про построение эпюры нормальных напряжений

Видео про построение эпюры касательных напряжений

В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:

М = -32 кНм и Q = 68 кН.

Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1

Сечение балки с эпюрами нормальных и касательных напряжений

Таблица 1

Результаты расчета в примере

Проверка прочности балки по главным напряжениям

Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке σ₁=118 МПа и σ₃= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству σ₁ — σ₃≤ [σ].

Так как 118 — ( -16) = 134 < 160, то выбранное сечение удовлетворяет условию прочности и по главным напряжениям.