Пример решения задачи полного расчета на прочность и жесткость стальной двутавровой балки для заданной системы изгибающих нагрузок.
Задача
Произвести полный расчет на прочность и проверить жесткость статически определимой двутавровой двухопорной балки (рис. 1) при следующих данных: F=40кН, q=30 кН/м, a=0,8 м, l=4м, допустимые нормальные и касательные напряжения: [σ]=160 МПа и [τ]=100 МПа, допустимый прогиб балки [f]=l/400
Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >
Решение
Определение опорных реакций
Подробно, пример определения опорных реакций для балки рассмотрен здесь
А также в нашем коротком видеоуроке:
Из Σmв=0
Из ΣmА=0
Построение эпюр Q и М
Подробный пример построения эпюр поперечных сил Q и изгибающих моментов M для балки
Внутренние силовые факторы Qy и Mx в пролете балки 0 ≤ z2 ≤ l
QII(z=0)= -52 кН
QII(z=l)= -52+30∙4=68 кН
MII=RB∙z2-qz22/2=52z2-30∙z22/2
MII (z=0)= 0
MII (z=l)= -32 кНм
На консоли l ≤ z1≤ (l+a)
MI=RB z1-ql(z1-l/2)+RA(z1-l)=52z1-30∙4(z1-4/2)+108(z1-4)
MI (z=l)= -32 кНм
MI (z=l+a)= 0
По этим данным построены эпюры Q и М.
Подбор сечения двутавровой балки
Так как Мmах = 45 кНм, то
О том, как подбирается сечение балки
По сортаменту выбираем двутавр № 24, для которого Wx = 289 см3, Ix= 3460 см4, Smax = 163 см3, h = 24 см, bп = 11,5 см, t = 0,95 см, d = bc = 0,56 см, h0 = h-2t = 22,1 см.
Этот двутавр будет работать при максимальном нормальном напряжении в крайнем волокне опасного сечения.
σmax = Mmax / Wx = 45∙103 / 289∙10-6= 156∙106 Па = 156 МПа
Проверка сечения балки по касательным напряжениям
Так как Qmax = 68 кН, то
Построение эпюр нормальных σ и касательных τ напряжений в неблагоприятном сечении балки:
Построение эпюры нормальных напряжений
Построение эпюры касательных напряжений
В отношении главных напряжений неблагоприятным является сечение над левой опорой, в котором:
Значение напряжений в различных точках по высоте двутавра сведены в таблицу 1
Проверка прочности балки по главным напряжениям
Наиболее опасной точкой в неблагоприятном сечении является точка 3. В этой точке σ1=118 МПа и σ3= -16 МПа. Проверяем прочность в этой точке по третьей гипотезе прочности согласно неравенству σ1 — σ3≤ [σ].
Так как 118 — ( -16) = 134 < 160, то выбранное сечение удовлетворяет условию прочности и по главным напряжениям.
Расчет перемещений сечений (прогибов балки)
Универсальные уравнения МНП для сечения z:
Подробный пример расчета перемещений сечений балки методом начальных параметров.
Опорные условия:
откуда θ0= -8,48∙10-3 радиан.
Прогиб в пролете при z=l/2=4/2=2 м.
Аналогично определяется прогиб на конце консоли при z = l + a =4+0,8 = 4,8 м.
Проверка жесткости балки
— пролетной части:
Следовательно, принятая двутавровая балка удовлетворяет требуемому условию жесткости.
